/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Pole

Zadanie nr 3307197

Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny ABC jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym DEF . O ile procent pole trójkąta DEF jest mniejsze od pola trójkąta ABC ?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli oznaczymy przez a długość boku większego, a przez b długość boku mniejszego trójkąta, to promień R okręgu, o którym mowa w treści zadania możemy obliczyć na dwa sposoby – z jednej strony jest to promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC , a z drugiej jest to promień okręgu opisanego na trójkącie DEF . Mamy zatem

√ -- √ -- 1-⋅ a-3-= R = 2-⋅ b-3- / ⋅√6-- 3 2 3 2 3 a = 2b.

W takim razie stosunek pól trójkątów DEF i ABC jest równy

2√- ( ) PDEF b-43 b 2 1 ------= a2√3-= -- = -. PABC --4- a 4

W takim razie

PDEF = 0,25PABC = 2 5%PABC ,

czyli jest o 75% mniejsze.  
Odpowiedź: 75%

Wersja PDF