/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Pole

Zadanie nr 4108470

Niech T1 będzie trójkątem równobocznym o boku długości a . Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne T2,T3,T 4... takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól trójkątów T ,T ,...,T 1 2 6 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Ze wzoru √ - h = a23- na wysokość w trójkącie równobocznym o boku a , wiemy, że długości boków kolejnych trójkątów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a i ilorazie √-3 k = 2 . Ponieważ stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, pola trójkątów T 1,T 2,T3... tworzą ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie √ - a2-3 a1 = 4 i ilorazie 2 3 q = k = 4 . Suma 6 początkowych wyrazów tego ciągu, to

6 2√ -- ( 3)6 1−--q-- a---3- 1−---4--- a1 + ⋅⋅⋅+ a 6 = a1 ⋅ 1 − q = 4 ⋅ 1 − 3 = √ -- 6 6 4 √ -- a2 3 4-−436- 2√ -- 46 − 36 3 367 3 2 = ------⋅--1---= a 3⋅ ---6--- = --------a . 4 4 4 4096

 
Odpowiedź: √- 3367-3 2 4096 a

Wersja PDF