Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8263017

W trójkąt równoboczny wpisane są 3 koła o równych promieniach, przy czym każde koło jest styczne do dwóch boków trójkąta oraz do dwóch pozostałych kół. Oblicz stosunek sumy pól tych kół do pola trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy promienie tych kół przez r a bok trójkąta przez a .


PIC


Z trójkąta prostokątnego ADO 1 mamy

 √ -- AD-- = ctg 30∘ ⇒ AD = r 3. r

Podobnie  √ -- EB = r 3 . Mamy zatem

AB =√ AD + DE √+-EB a = 3r + 2r + 3r √ -- a = 2(1 + 3)r.

Pole trójkąta jest więc równe

 √ -- √ -- 4r2(1-+---3)2--3- 2 √ -- 4 = r(4 3+ 6).

Liczymy teraz szukany iloraz pól

 √ -- ---3-⋅πr2---- 3π- ---1----- 3π- 2---3−--3 π- √ -- r2(4√ 3-+ 6) = 2 ⋅ 2√ 3+ 3 = 2 ⋅ 12− 9 = 2(2 3 − 3 ).

 
Odpowiedź:  √ -- π-(2 3 − 3) 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!