/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Pole

Zadanie nr 8263017

W trójkąt równoboczny wpisane są 3 koła o równych promieniach, przy czym każde koło jest styczne do dwóch boków trójkąta oraz do dwóch pozostałych kół. Oblicz stosunek sumy pól tych kół do pola trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy promienie tych kół przez r a bok trójkąta przez a .


PIC


Z trójkąta prostokątnego ADO 1 mamy

 √ -- AD-- = ctg 30∘ ⇒ AD = r 3. r

Podobnie  √ -- EB = r 3 . Mamy zatem

AB =√ AD + DE √+-EB a = 3r + 2r + 3r √ -- a = 2(1 + 3)r.

Pole trójkąta jest więc równe

 √ -- √ -- 4r2(1-+---3)2--3- 2 √ -- 4 = r(4 3+ 6).

Liczymy teraz szukany iloraz pól

 √ -- ---3-⋅πr2---- 3π- ---1----- 3π- 2---3−--3 π- √ -- r2(4√ 3-+ 6) = 2 ⋅ 2√ 3+ 3 = 2 ⋅ 12− 9 = 2(2 3 − 3 ).

 
Odpowiedź:  √ -- π-(2 3 − 3) 2

Wersja PDF
spinner