Zadanie nr 8923437

Wyznacz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 2 cm krótsza od boku tego trójkąta.

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

Skorzystamy ze wzorów na wysokość i pole trójkąta równobocznego:

√ -- h = a--3- 2 a 2√ 3- P = ------. 4

Z treści zadania i ze wzoru na wysokość mamy równanie

h = a− 2 √ -- a---3 2 = a − 2 / ⋅2 √ -- a 3 = 2a−√ 4- √ -- 4 = a(2− 3) / : (2 − 3) √ -- √ -- ---4---- ----4-(2+----3)---- 4(2-+---3-) √ -- a = √ --= √ -- √ --= 4− 3 = 8+ 4 3. 2− 3 (2 − 3 )(2+ 3)

Pole trójkąta możemy obliczyć na dwa sposoby:

Sposób I

Korzystamy z podanego wcześniej wzoru

2√ -- √ --2√ -- √ -- √ -- P = a---3-= (8-+-4--3)---3-= (64-+-64--3-+-4-8)--3 = 4 √ -- 4√ -- √ -- 4 = (1 6+ 16 3+ 12) 3 = 2 8 3+ 48.

Sposób II

Możemy też skorzystać ze wzoru:

-- -- P = 1ah = 1a(a − 2) = 1(8 + 4√ 3)(6 + 4√ 3) = 2 2- --2 -- -- -- = (4 + 2√ 3 )(6+ 4√ 3) = 24 + 16√ 3 + 1 2√ 3+ 24 = 48 + 28√ 3.

Odpowiedź: √ -- (28 3 + 48 ) cm 2