Oznaczmy bok wpisanego kwadratu przez .
Sposób I
Naszkicujmy opisaną sytuację i dorysujmy wysokość trójkąta
.
Jeżeli przez oznaczymy wysokość trójkąta równobocznego
, to z podobieństwa trójkątów
i
mamy
Pozostało skorzystać ze znanego wzoru .
Zatem pole kwadratu jest równe
Promień koła opisanego na kwadracie jest równy połowie przekątnej kwadratu, więc
Pole koła jest równe
Pole koła mogliśmy obliczyć odrobinę szybciej, korzystając z obserwacji:
Sposób II
Tym razem również zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość odcinka przez
.
Ponieważ , mamy
Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa do trójkąta
Z drugiej strony , zatem
Pola wyliczamy jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: i