Zadanie nr 1630530
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
wpisano dwa przystające okręgi w ten sposób, że są one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny do boków
i
, a drugi do boków
i
.
Oblicz długość promienia tych okręgów.
Rozwiązanie
Niech oznacza środek okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i niech
będzie punktem styczności tego okręgu z bokiem
.
Punkt leży na dwusiecznej kąta
, więc jeżeli oznaczymy
to
. Jeżeli przez
oznaczymy szukaną długość promienia to łatwo wyliczyć przyprostokątne trójkąta prostokątnego
:
i
. Widać teraz, że aby wyliczyć
wystarczy wyliczyć
. Zrobimy to na dwa sposoby.
Sposób I
Korzystając ze wzoru
![-2-tgα--- tg 2α = 1− tg 2α](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR14x.gif)
mamy
![2 tgα AC 3 ------2--= tg 2α = ----= -- 1− tg α BC 4 8tgα = 3 − 3tg2 α 2 3tg α + 8 tgα − 3 = 0.](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR15x.gif)
Podstawiamy .
![2 3t + 8t− 3 = 0 Δ = 64 + 36 = 1 00 − 8 − 10 − 8 + 10 1 t = ---------= − 3 ∨ t = ---------= -. 6 6 3](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR17x.gif)
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy . Stąd
![1 OD r --= tgα = ---- = ------- 3 BD 4 − 3r 4 − 3r = 3r 2 4 = 6r ⇒ r = --. 3](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR19x.gif)
Sposób II
Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru na to wystarczy nam wzór
![cos2α = 2co s2α − 1](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR21x.gif)
Mamy z niego
![∘ -------------- ∘ --(------)-- 1 1 4 3 co sα = -(co s2α + 1) = -- --+ 1 = √----. 2 2 5 1 0](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR22x.gif)
Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy sinus
![∘ ------- ∘ ---------- 9 1 sinα = 1 − cos2 α = 1 − ---= √---- 10 1 0](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR23x.gif)
Zatem
![--1- sin-α- √-10 1- tg α = cosα = √-3- = 3 . 10](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR24x.gif)
Promień wyliczamy jak poprzednio.
Sposób III
Tym razem obejdziemy się bez trygonometrii. Jeżeli połączymy punkt z wierzchołkami trójkąta to otrzymamy trzy trójkąty
. Suma ich pól musi być równa polu trójkąta, co daje równanie
![PABC = PAOB + PBOC + PCOA 1-⋅3 ⋅4 = 1⋅ 5⋅r + 1-⋅4 ⋅r+ 1-⋅3 ⋅3r 2 2 2 2 5r- 9r- 6 = 2 + 2r+ 2 14r 6 = ----+ 2r 2 6 = 9r ⇒ r = 6-= 2. 9 3](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR27x.gif)
Sposób IV
Tym razem poprowadźmy odcinek prostopadły do boku
i styczny do obu okręgów.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR30x.gif)
Obliczymy długości wszystkich boków trójkąta , co pozwoli wyliczyć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ze wzoru na pole.
Z podobieństwa trójkątów i
mamy
![BK MK BK 3(4− 2r) 3(2 − r) ----= ---- ⇒ MK = ----⋅AC = ----------= -------- BC AC BC 4 2 BM-- = BK-- ⇒ BM = BK-⋅ BA = 5(4-−-2r)-= 5(2-−-r). BA BC BC 4 2](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR34x.gif)
Możemy teraz na dwa sposoby obliczyć pole trójkąta . Z jednej strony jest ono równe
![1 1 3(2 − r) 3(2− r)2 P = --BK ⋅ KM = -(4 − 2r) ⋅-------- = ---------, 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR36x.gif)
a z drugiej
![1 1 ( 3 (2− r) 5(2− r)) P = -r(BK + KM + BM ) = -r 4 − 2r + -------- + -------- = 2 ( ) 2 2 2 1 8(2 − r) = 2r 4 − 2r + ----2--- = r(2 − r + 2(2 − r)) = 3r(2 − r).](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR37x.gif)
Mamy zatem równanie
![2 3(2−--r)-= 3r(2 − r) / ⋅----2--- 2 3 (2− r) 2 − r = 2r 2- 3r = 2 ⇒ r = 3 .](https://img.zadania.info/zad/1630530/HzadR38x.gif)
Odpowiedź: