Niech oznacza środek okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i niech
będzie punktem styczności tego okręgu z bokiem
.
Punkt leży na dwusiecznej kąta
, więc jeżeli oznaczymy
to
. Jeżeli przez
oznaczymy szukaną długość promienia to łatwo wyliczyć przyprostokątne trójkąta prostokątnego
:
i
. Widać teraz, że aby wyliczyć
wystarczy wyliczyć
. Zrobimy to na dwa sposoby.
Sposób I
Korzystając ze wzoru
mamy
Podstawiamy .
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy . Stąd
Sposób II
Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru na to wystarczy nam wzór
Mamy z niego
Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy sinus
Zatem
Promień wyliczamy jak poprzednio.
Sposób III
Tym razem obejdziemy się bez trygonometrii. Jeżeli połączymy punkt z wierzchołkami trójkąta to otrzymamy trzy trójkąty
. Suma ich pól musi być równa polu trójkąta, co daje równanie
Sposób IV
Tym razem poprowadźmy odcinek prostopadły do boku
i styczny do obu okręgów.
Obliczymy długości wszystkich boków trójkąta , co pozwoli wyliczyć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ze wzoru na pole.
Z podobieństwa trójkątów i
mamy
Możemy teraz na dwa sposoby obliczyć pole trójkąta . Z jednej strony jest ono równe
a z drugiej
Mamy zatem równanie
Odpowiedź: