W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |AC|=3... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Promień okręgu, 1630530

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Promień okręgu

Zadanie nr 1630530

W trójkąt prostokątny $ABC$ o przyprostokątnych długości $|AC | = 3$ i $|BC | = 4$ wpisano dwa przystające okręgi w ten sposób, że są one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny do boków $AB$ i $BC$ , a drugi do boków $AC$ i $BC$ .

Oblicz długość promienia tych okręgów.

Rozwiązanie

Niech $O$ oznacza środek okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i niech $D$ będzie punktem styczności tego okręgu z bokiem $BC$ .

Punkt $O$ leży na dwusiecznej kąta $ABC$ , więc jeżeli oznaczymy $∡OBD = α$ to $∡B = 2α$ . Jeżeli przez $r$ oznaczymy szukaną długość promienia to łatwo wyliczyć przyprostokątne trójkąta prostokątnego $BDO$ : $OD = r$ i $BD = BC − 3r = 4− 3r$ . Widać teraz, że aby wyliczyć $r$ wystarczy wyliczyć $tg α$ . Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystając ze wzoru

-2-tgα--- tg 2α = 1− tg 2α

mamy

2 tgα AC 3 ------2--= tg 2α = ----= -- 1− tg α BC 4 8tgα = 3 − 3tg2 α 2 3tg α + 8 tgα − 3 = 0.

Podstawiamy $t = tg α$ .

2 3t + 8t− 3 = 0 Δ = 64 + 36 = 1 00 − 8 − 10 − 8 + 10 1 t = ---------= − 3 ∨ t = ---------= -. 6 6 3

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy $1 tgα = 3$ . Stąd

1 OD r --= tgα = ---- = ------- 3 BD 4 − 3r 4 − 3r = 3r 2 4 = 6r ⇒ r = --. 3

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru na $tg 2α$ to wystarczy nam wzór

cos2α = 2co s2α − 1

Mamy z niego

∘ -------------- ∘ --(------)-- 1 1 4 3 co sα = -(co s2α + 1) = -- --+ 1 = √----. 2 2 5 1 0

Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy sinus

∘ ------- ∘ ---------- 9 1 sinα = 1 − cos2 α = 1 − ---= √---- 10 1 0

Zatem

--1- sin-α- √-10 1- tg α = cosα = √-3- = 3 . 10

Promień wyliczamy jak poprzednio.

Sposób III

Tym razem obejdziemy się bez trygonometrii. Jeżeli połączymy punkt $O$ z wierzchołkami trójkąta to otrzymamy trzy trójkąty $AOB ,BOC ,COA$ . Suma ich pól musi być równa polu trójkąta, co daje równanie