Zadanie nr 1630530

W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |AC | = 3 i |BC | = 4 wpisano dwa przystające okręgi w ten sposób, że są one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny do boków i , a drugi do boków i .

Oblicz długość promienia tych okręgów.

Rozwiązanie

Niech oznacza środek okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i niech będzie punktem styczności tego okręgu z bokiem .

Punkt leży na dwusiecznej kąta ABC , więc jeżeli oznaczymy ∡OBD = α to ∡B = 2α . Jeżeli przez oznaczymy szukaną długość promienia to łatwo wyliczyć przyprostokątne trójkąta prostokątnego BDO : OD = r i BD = BC − 3r = 4− 3r . Widać teraz, że aby wyliczyć wystarczy wyliczyć tg α . Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystając ze wzoru

-2-tgα--- tg 2α = 1− tg 2α

mamy

2 tgα AC 3 ------2--= tg 2α = ----= -- 1− tg α BC 4 8tgα = 3 − 3tg2 α 2 3tg α + 8 tgα − 3 = 0.

Podstawiamy t = tg α .

2 3t + 8t− 3 = 0 Δ = 64 + 36 = 1 00 − 8 − 10 − 8 + 10 1 t = ---------= − 3 ∨ t = ---------= -. 6 6 3

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy 1 tgα = 3 . Stąd

1 OD r --= tgα = ---- = ------- 3 BD 4 − 3r 4 − 3r = 3r 2 4 = 6r ⇒ r = --. 3

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru na tg 2α to wystarczy nam wzór

cos2α = 2co s2α − 1

Mamy z niego

∘ -------------- ∘ --(------)-- 1 1 4 3 co sα = -(co s2α + 1) = -- --+ 1 = √----. 2 2 5 1 0

Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy sinus

∘ ------- ∘ ---------- 9 1 sinα = 1 − cos2 α = 1 − ---= √---- 10 1 0

Zatem

--1- sin-α- √-10 1- tg α = cosα = √-3- = 3 . 10

Promień wyliczamy jak poprzednio.

Sposób III

Tym razem obejdziemy się bez trygonometrii. Jeżeli połączymy punkt z wierzchołkami trójkąta to otrzymamy trzy trójkąty AOB ,BOC ,COA . Suma ich pól musi być równa polu trójkąta, co daje równanie