Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1630530

W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |AC | = 3 i |BC | = 4 wpisano dwa przystające okręgi w ten sposób, że są one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny do boków AB i BC , a drugi do boków AC i BC .


PIC


Oblicz długość promienia tych okręgów.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech O oznacza środek okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i niech D będzie punktem styczności tego okręgu z bokiem BC .


PIC


Punkt O leży na dwusiecznej kąta ABC , więc jeżeli oznaczymy ∡OBD = α to ∡B = 2α . Jeżeli przez r oznaczymy szukaną długość promienia to łatwo wyliczyć przyprostokątne trójkąta prostokątnego BDO : OD = r i BD = BC − 3r = 4− 3r . Widać teraz, że aby wyliczyć r wystarczy wyliczyć tg α . Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystając ze wzoru

 -2-tgα--- tg 2α = 1− tg 2α

mamy

 2 tgα AC 3 ------2--= tg 2α = ----= -- 1− tg α BC 4 8tgα = 3 − 3tg2 α 2 3tg α + 8 tgα − 3 = 0.

Podstawiamy t = tg α .

 2 3t + 8t− 3 = 0 Δ = 64 + 36 = 1 00 − 8 − 10 − 8 + 10 1 t = ---------= − 3 ∨ t = ---------= -. 6 6 3

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy  1 tgα = 3 . Stąd

1 OD r --= tgα = ---- = ------- 3 BD 4 − 3r 4 − 3r = 3r 2 4 = 6r ⇒ r = --. 3

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru na tg 2α to wystarczy nam wzór

cos2α = 2co s2α − 1

Mamy z niego

 ∘ -------------- ∘ --(------)-- 1 1 4 3 co sα = -(co s2α + 1) = -- --+ 1 = √----. 2 2 5 1 0

Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy sinus

 ∘ ------- ∘ ---------- 9 1 sinα = 1 − cos2 α = 1 − ---= √---- 10 1 0

Zatem

 --1- sin-α- √-10 1- tg α = cosα = √-3- = 3 . 10

Promień wyliczamy jak poprzednio.

Sposób III

Tym razem obejdziemy się bez trygonometrii. Jeżeli połączymy punkt O z wierzchołkami trójkąta to otrzymamy trzy trójkąty AOB ,BOC ,COA . Suma ich pól musi być równa polu trójkąta, co daje równanie

PABC = PAOB + PBOC + PCOA 1-⋅3 ⋅4 = 1⋅ 5⋅r + 1-⋅4 ⋅r+ 1-⋅3 ⋅3r 2 2 2 2 5r- 9r- 6 = 2 + 2r+ 2 14r 6 = ----+ 2r 2 6 = 9r ⇒ r = 6-= 2. 9 3

Sposób IV

Tym razem poprowadźmy odcinek KM prostopadły do boku BC i styczny do obu okręgów.


PIC

Obliczymy długości wszystkich boków trójkąta BKM , co pozwoli wyliczyć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ze wzoru na pole.

Z podobieństwa trójkątów BKM i BCA mamy

BK MK BK 3(4− 2r) 3(2 − r) ----= ---- ⇒ MK = ----⋅AC = ----------= -------- BC AC BC 4 2 BM-- = BK-- ⇒ BM = BK-⋅ BA = 5(4-−-2r)-= 5(2-−-r). BA BC BC 4 2

Możemy teraz na dwa sposoby obliczyć pole trójkąta BKM . Z jednej strony jest ono równe

 1 1 3(2 − r) 3(2− r)2 P = --BK ⋅ KM = -(4 − 2r) ⋅-------- = ---------, 2 2 2 2

a z drugiej

 1 1 ( 3 (2− r) 5(2− r)) P = -r(BK + KM + BM ) = -r 4 − 2r + -------- + -------- = 2 ( ) 2 2 2 1 8(2 − r) = 2r 4 − 2r + ----2--- = r(2 − r + 2(2 − r)) = 3r(2 − r).

Mamy zatem równanie

 2 3(2−--r)-= 3r(2 − r) / ⋅----2--- 2 3 (2− r) 2 − r = 2r 2- 3r = 2 ⇒ r = 3 .

 
Odpowiedź: 2 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!