Zadanie nr 2391218
Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 12 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Spróbujmy na początek ustalić na jakie odcinki dzieli przeciwprostokątną poprowadzona prosta. Jeżeli oznaczymy i
, to z równości obwodów trójkątów
i
mamy
![5+ 13− a+ x = 12 + a + x ⇒ 2a = 6 ⇒ a = 3 .](https://img.zadania.info/zad/2391218/HzadR5x.gif)
Jeżeli oznaczymy ten wspólny obwód trójkątów i
przez
, to promienie okręgów wpisanych możemy wyliczyć ze wzoru na pole
.
![P rADC = --ADC- p PDBC-- rDBC = p .](https://img.zadania.info/zad/2391218/HzadR10x.gif)
Zatem szukany iloraz wynosi
![PADC- rADC--= --p-- = PADC--. rDBC PDBC- PDBC p](https://img.zadania.info/zad/2391218/HzadR11x.gif)
Ponieważ trójkąty i
mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka
, stosunek ich pól, to dokładnie stosunek ich podstaw.
![PADC AD 10 ------ = ---- = --. PDBC DB 3](https://img.zadania.info/zad/2391218/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: