Zadanie nr 2811896
Trójkąt prostokątny ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Jeżeli połączymy środek okręgu dopisanego do boku , to otrzymamy kwadrat o boku równym szukanemu promieniowi. Oznaczymy długości odcinków łączących punkty
i
z punktami styczności okręgu i prostych zawierających boki trójkąta przez
i
. Oczywiście wystarczy obliczyć
lub
. Mamy układ równań
![{ a + b = 5 3 + b = 4 + a](https://img.zadania.info/zad/2811896/HzadR8x.gif)
Podstawiając do drugiego równania za z pierwszego mamy
![3 + b = 4+ 5− b 2b = 6 b = 3.](https://img.zadania.info/zad/2811896/HzadR10x.gif)
Zatem szukany promień ma długość .
Odpowiedź: 6