Zadanie nr 4652281
Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątna w stosunku 3:4. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Na mocy twierdzenia o dwusiecznej mamy
![CA--= AD-- = 3-. CB DB 4](https://img.zadania.info/zad/4652281/HzadR1x.gif)
Zatem i
dla pewnego
. W takim razie na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy
![∘ ------------ ∘ ----------- AB = AC 2 + CB 2 = 9a2 + 16a2 = 5a.](https://img.zadania.info/zad/4652281/HzadR5x.gif)
Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to dokładnie połowa przeciwprostokątnej, czyli
![R = 5a. 2](https://img.zadania.info/zad/4652281/HzadR6x.gif)
Sposób I
Aby wyliczyć promień okręgu wpisanego, skorzystamy ze wzoru na pole , gdzie
–połowa obwodu.
![1 P = -CA ⋅CB = 6a2 2 p = 1(3a + 4a + 5a) = 6a 2 P 6a2 r = -- = ----= a. p 6a](https://img.zadania.info/zad/4652281/HzadR9x.gif)
Szukany iloraz pól wynosi więc
![2 2 25 2 πR---= R-- = 4-a--= 25. πr 2 r2 a2 4](https://img.zadania.info/zad/4652281/HzadR10x.gif)
Sposób II
Tym razem skorzystamy ze wzoru
![a+--b−-c- r = 2](https://img.zadania.info/zad/4652281/HzadR11x.gif)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i przeciwprostokątnej
. W naszej sytuacji mamy
![3a-+-4a-−--5a r = 2 = a.](https://img.zadania.info/zad/4652281/HzadR14x.gif)
Szukany iloraz pól wynosi więc
![πR 2 R 2 245a2 25 ---2-= --2 = --2--= --. πr r a 4](https://img.zadania.info/zad/4652281/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: