Zadanie nr 6102975
Z wierzchołków i
kątów ostrych równoramiennego trójkąta prostokątnego
poprowadzono środkowe
i
przecinające się w punkcie
. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie
jeżeli
.
Rozwiązanie
Trójkąt jest połówką kwadratu, więc
.
Plan jest następujący – promień okręgu opisanego na trójkącie możemy obliczyć z twierdzenia sinusów, więc potrzebujemy obliczyć sinus kąta
. Ten sinus z kolei łatwo obliczyć z cosinusa, a
obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie
. Do tego będziemy jednak potrzebować długości odcinków
i
. Te łatwo jednak obliczyć z faktu, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (jeżeli ktoś tego nie wie, to łatwo można to zauważyć patrząc na trójkąty podobne
i
– pierwszy jest dwa razy większy od drugiego).
Liczymy. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie i mamy
![∘ ------------ √ ------- √ --- √ -- AE = AB 2 + BE 2 = 36+ 9 = 45 = 3 5.](https://img.zadania.info/zad/6102975/HzadR12x.png)
Stąd
![√ -- CS = AS = 2-AE = 2 5 3](https://img.zadania.info/zad/6102975/HzadR13x.png)
Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
![2 2 2 AC = AS + CS − 2AS ⋅CS cosα 72 = 20+ 20 − 40 cosα 32 = − 40co sα ⇒ cosα = − 32-= − 4. 40 5](https://img.zadania.info/zad/6102975/HzadR15x.png)
Sinus możemy obliczyć z jedynki trygonometrycznej.
![∘ ------- ∘ --------2- 16- 3- sin α = 1 − co s α = 1− 25 = 5.](https://img.zadania.info/zad/6102975/HzadR16x.png)
Pozostało skorzystać z twierdzenia sinusów w trójkącie .
![-- AC 6√ 2 √ -- √ -- 2R = ----- = -3---= 1 0 2 ⇒ R = 5 2. sin α 5](https://img.zadania.info/zad/6102975/HzadR18x.png)
Odpowiedź: