/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Promień okręgu

Zadanie nr 6102975

Z wierzchołków A i C kątów ostrych równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono środkowe AE i CD przecinające się w punkcie S . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ACS jeżeli |AB | = |BC | = 6 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Trójkąt ABC jest połówką kwadratu, więc √ -- √ -- AC = AB 2 = 6 2 .

ZINFO-FIGURE

Plan jest następujący – promień okręgu opisanego na trójkącie ACS możemy obliczyć z twierdzenia sinusów, więc potrzebujemy obliczyć sinus kąta α = ∡ASC . Ten sinus z kolei łatwo obliczyć z cosinusa, a cosα obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASC . Do tego będziemy jednak potrzebować długości odcinków AS i CS . Te łatwo jednak obliczyć z faktu, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (jeżeli ktoś tego nie wie, to łatwo można to zauważyć patrząc na trójkąty podobne ACS i DSE – pierwszy jest dwa razy większy od drugiego).

Liczymy. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AEB i mamy

∘ ------------ √ ------- √ --- √ -- AE = AB 2 + BE 2 = 36+ 9 = 45 = 3 5.

Stąd

√ -- CS = AS = 2-AE = 2 5 3

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie ASC .

2 2 2 AC = AS + CS − 2AS ⋅CS cosα 72 = 20+ 20 − 40 cosα 32 = − 40co sα ⇒ cosα = − 32-= − 4. 40 5

Sinus możemy obliczyć z jedynki trygonometrycznej.

∘ ------- ∘ --------2- 16- 3- sin α = 1 − co s α = 1− 25 = 5.

Pozostało skorzystać z twierdzenia sinusów w trójkącie ACS .

-- AC 6√ 2 √ -- √ -- 2R = ----- = -3---= 1 0 2 ⇒ R = 5 2. sin α 5

 
Odpowiedź: √ -- 5 2

Wersja PDF