/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Promień okręgu

Zadanie nr 6102975

Z wierzchołków A i C kątów ostrych równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono środkowe AE i CD przecinające się w punkcie S . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ACS jeżeli |AB | = |BC | = 6 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Trójkąt ABC jest połówką kwadratu, więc √ -- √ -- AC = AB 2 = 6 2 .

PIC

Plan jest następujący – promień okręgu opisanego na trójkącie ACS możemy obliczyć z twierdzenia sinusów, więc potrzebujemy obliczyć sinus kąta α = ∡ASC . Ten sinus z kolei łatwo obliczyć z cosinusa, a cosα obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASC . Do tego będziemy jednak potrzebować długości odcinków AS i CS . Te łatwo jednak obliczyć z faktu, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (jeżeli ktoś tego nie wie, to łatwo można to zauważyć patrząc na trójkąty podobne ACS i DSE – pierwszy jest dwa razy większy od drugiego).

Liczymy. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AEB i mamy

∘ ----2-----2- √ ------- √ --- √ -- AE = AB + BE = 36+ 9 = 45 = 3 5.

Stąd

2 √ -- CS = AS = --AE = 2 5 3

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie ASC .

AC 2 = AS 2 + CS 2 − 2AS ⋅CS cosα 72 = 20+ 20 − 40 cosα 32 4 32 = − 40co sα ⇒ cosα = − 40-= − 5.

Sinus możemy obliczyć z jedynki trygonometrycznej.

∘ ---------- ∘ ------- sin α = 1 − co s2α = 1− 16-= 3. 25 5

Pozostało skorzystać z twierdzenia sinusów w trójkącie ACS .

√ -- √ -- √ -- 2R = -AC-- = 6--2-= 1 0 2 ⇒ R = 5 2. sin α 3 5

 
Odpowiedź: √ -- 5 2

Wersja PDF