Zadanie nr 8351873
Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę , a długość przeciwprostokątnej jest równa 4.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Trójkąt prostokątny z kątem jest równoramienny (jest to połówka kwadratu). Obliczmy długość jego przyprostokątnej.
![√ -- ∘ a- ∘ --2- √ -- sin4 5 = 4 ⇒ a = 4 sin 45 = 4 ⋅ 2 = 2 2.](https://img.zadania.info/zad/8351873/HzadR2x.gif)
Sposób I
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego.
![P = 1(a + a + 4)r 2 1- 2 2a = (a+ 2)r 1 2 √ -- √ -- r = -2a---= -√-4-----= √--2----= 2(--2−--1)-= 2 2 − 2. a + 2 2 2 + 2 2+ 1 2 − 1](https://img.zadania.info/zad/8351873/HzadR3x.gif)
Sposób II
Dorysujmy wysokość trójkąta
. Trójkąt
jest ponownie połówką kwadratu, więc
. Stąd
. Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny
.
![sin45 ∘ = --r-- 2 − r √ 2- r ----= ----- √2-- 2− r 2(2− r) = 2r √ -- √ -- 2 2 = r(2 + 2) √ -- √ --√ -- √ -- √ -- r = √2---2--= 2--2(--2-−-2)-= 4−--4--2-= 2 2− 2. 2 + 2 2− 4 − 2](https://img.zadania.info/zad/8351873/HzadR10x.gif)
Sposób III
Tak jak poprzednio dorysowujemy wysokość i zauważamy, że trójkąt
jest połówką kwadratu. Zatem
![√ -- r = ES = CE = CA − AE = a− AD = a − 1AB = 2 2− 2. 2](https://img.zadania.info/zad/8351873/HzadR13x.gif)
Sposób IV
Korzystamy ze wzoru
![r = a+--b−-c- 2](https://img.zadania.info/zad/8351873/HzadR14x.gif)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i przeciwprostokątnej długości
. W naszej sytuacji mamy
![√ -- √ -- a-+-b-−-c 2--2-+-2--2-−-4- √ -- √ -- r = 2 = 2 = 2 2− 2 = − 2 + 2 2.](https://img.zadania.info/zad/8351873/HzadR17x.gif)
Odpowiedź: