/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Promień okręgu

Zadanie nr 8351873

Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę 45∘ , a długość przeciwprostokątnej jest równa 4.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Trójkąt prostokątny z kątem 4 5∘ jest równoramienny (jest to połówka kwadratu). Obliczmy długość jego przyprostokątnej.

√ -- ∘ a- ∘ --2- √ -- sin4 5 = 4 ⇒ a = 4 sin 45 = 4 ⋅ 2 = 2 2.

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego.

P = 1(a + a + 4)r 2 1- 2 2a = (a+ 2)r 1 2 √ -- √ -- r = -2a---= -√-4-----= √--2----= 2(--2−--1)-= 2 2 − 2. a + 2 2 2 + 2 2+ 1 2 − 1

Sposób II

Dorysujmy wysokość CD trójkąta ABC . Trójkąt ADC jest ponownie połówką kwadratu, więc CD = AD = 2 . Stąd CS = CD − SD = 2 − r . Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny CES .

sin45 ∘ = --r-- 2 − r √ 2- r ----= ----- √2-- 2− r 2(2− r) = 2r √ -- √ -- 2 2 = r(2 + 2) √ -- √ --√ -- √ -- √ -- r = √2---2--= 2--2(--2-−-2)-= 4−--4--2-= 2 2− 2. 2 + 2 2− 4 − 2

Sposób III

Tak jak poprzednio dorysowujemy wysokość CD i zauważamy, że trójkąt CES jest połówką kwadratu. Zatem

√ -- r = ES = CE = CA − AE = a− AD = a − 1AB = 2 2− 2. 2

Sposób IV

Korzystamy ze wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a,b i przeciwprostokątnej długości c . W naszej sytuacji mamy

√ -- √ -- a-+-b-−-c 2--2-+-2--2-−-4- √ -- √ -- r = 2 = 2 = 2 2− 2 = − 2 + 2 2.

 
Odpowiedź: 2√ 2-− 2

Wersja PDF