/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Promień okręgu

Zadanie nr 9687080

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |BC | = 28, |CA | = 21 . Na boku AB wybrano punkt D tak, że pole trójkąta ADC jest równe 126. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Obliczmy długość przeciwprostokątnej

∘ ------------ ∘ ---------- √ ----- AB = BC 2 + CA 2 = 282 + 21 2 = 1225 = 3 5.

Zauważmy, że z podanego pola trójkąta ADC łatwo jest obliczyć długość odcinka AD – korzystamy ze wzoru na pole z sinusem.

sin∡A = BC--= 28-= 4- AB 35 5 1 126 = --⋅AD ⋅AC sin ∡A 2 126 = 1-⋅2 1⋅ 4⋅ AD /⋅ 5-- 2 5 42 15 = AD .

Stąd

BD = AB − AD = 35 − 15 = 20.

Sposób I

Korzystamy z twierdzenia cosinusów. Korzystając z tego twierdzenia obliczamy długość odcinka DC .

DC 2 = AD 2 + AC 2 − 2AD ⋅AC cos ∡A = 2 1 = 225 + 4 41− 2⋅1 5⋅21 ⋅--- = 666 − 37 8 = 288 √ -- 3 5 DC = 12 2.

Teraz korzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie BCD .

√ -- √ -- -DC---- 12--2- 12--2-⋅5- √ -- 2R = sin ∡B = 21 = 3 = 20 2 √ -- 35 R = 1 0 2.

Sposób II

Stosując twierdzenie sinusów w trójkątach ADC i BCD mamy

-AD-- = -DC---- ⇒ DC = -15--⋅ 4-= --12- sin β sin ∡A sin β 5 sin β BD DC 20 3 1 2 ------------- = ------- ⇒ DC = ----- ⋅--= -----. sin(90 ∘ − β ) sin ∡B cos β 5 cos β

To oznacza, że sin β = co sβ , czyli β = 4 5∘ . Zatem raz jeszcze stosując twierdzenie sinusów w trójkącie BCD mamy

BD 20 40 2R = -------= √-- = √--- sin45 ∘ --2 2 √ 2- R = 2√-0-= 10 2. 2

 
Odpowiedź: √ -- 10 2

Wersja PDF