Zadanie nr 9687080
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości
. Na boku
wybrano punkt
tak, że pole trójkąta
jest równe 126. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Obliczmy długość przeciwprostokątnej
![∘ ------------ ∘ ---------- √ ----- AB = BC 2 + CA 2 = 282 + 21 2 = 1225 = 3 5.](https://img.zadania.info/zad/9687080/HzadR1x.gif)
Zauważmy, że z podanego pola trójkąta łatwo jest obliczyć długość odcinka
– korzystamy ze wzoru na pole z sinusem.
![sin∡A = BC--= 28-= 4- AB 35 5 1 126 = --⋅AD ⋅AC sin ∡A 2 126 = 1-⋅2 1⋅ 4⋅ AD /⋅ 5-- 2 5 42 15 = AD .](https://img.zadania.info/zad/9687080/HzadR4x.gif)
Stąd
![BD = AB − AD = 35 − 15 = 20.](https://img.zadania.info/zad/9687080/HzadR5x.gif)
Sposób I
Korzystamy z twierdzenia cosinusów. Korzystając z tego twierdzenia obliczamy długość odcinka .
![DC 2 = AD 2 + AC 2 − 2AD ⋅AC cos ∡A = 2 1 = 225 + 4 41− 2⋅1 5⋅21 ⋅--- = 666 − 37 8 = 288 √ -- 3 5 DC = 12 2.](https://img.zadania.info/zad/9687080/HzadR7x.gif)
Teraz korzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie .
![√ -- √ -- -DC---- 12--2- 12--2-⋅5- √ -- 2R = sin ∡B = 21 = 3 = 20 2 √ -- 35 R = 1 0 2.](https://img.zadania.info/zad/9687080/HzadR9x.gif)
Sposób II
Stosując twierdzenie sinusów w trójkątach i
mamy
![-AD-- = -DC---- ⇒ DC = -15--⋅ 4-= --12- sin β sin ∡A sin β 5 sin β BD DC 20 3 1 2 ------------- = ------- ⇒ DC = ----- ⋅--= -----. sin(90 ∘ − β ) sin ∡B cos β 5 cos β](https://img.zadania.info/zad/9687080/HzadR12x.gif)
To oznacza, że , czyli
. Zatem raz jeszcze stosując twierdzenie sinusów w trójkącie
mamy
![BD 20 40 2R = -------= √-- = √--- sin45 ∘ --2 2 √ 2- R = 2√-0-= 10 2. 2](https://img.zadania.info/zad/9687080/HzadR16x.gif)
Odpowiedź: