/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Promień okręgu

Zadanie nr 9915079

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego ABC mają długości 12 i 6. Oblicz długość promienia okręgu stycznego do obu przyprostokątnych, którego środek O leży na przeciwprostokątnej, oraz oblicz odległości środka O od wierzchołków trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Sposób I

Ponieważ środek O jest odległy o tyle samo od boków CB i CA , to prosta CO jest dwusieczną kąta C . Zatem z twierdzenia o dwusiecznej mamy

CB-- BO-- CA = OA 6 BO ---= -√--------- 12√ -- 6 5 − BO 6 5 − BO = 2BO √ -- 6 5 = 3BO √ -- 2 5 = BO .

Stąd √ -- OA = 4 5 . Aby wyliczyć promień DO okręgu, korzystamy z podobieństwa trójkątów DOB i CAB .

DO-- = BO-- CA BA -- DO 2 √ 5 ---- = --√--- 12 6 5 DO = 4.

Pozostało obliczyć długość odcinka CO . Ponieważ jest to przekątna w kwadracie CEOD , więc

√ -- √ -- CO = DO 2 = 4 2.

Sposób II

Tym razem od razu skorzystajmy z podobieństwa trójkątów DOB i CAB .

DO-- = CA-- DB CB --x--- 12- 6 − x = 6 x = 1 2− 2x x = 4 .

Dalej

∘ ------------ √ ------- √ -- BO = DO 2 + DB 2 = 16+ 4 = 2 5.

Stąd √ -- OA = BA − BO = 4 5 oraz √ -- √ -- CO = x 2 = 4 2 .  
Odpowiedź: Promień: 4, odległości: √ -- 2 5 , √ -- 4 5 i √ -- 4 2

Wersja PDF