Zadanie nr 9915079
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 12 i 6. Oblicz długość promienia okręgu stycznego do obu przyprostokątnych, którego środek
leży na przeciwprostokątnej, oraz oblicz odległości środka
od wierzchołków trójkąta
.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Sposób I
Ponieważ środek jest odległy o tyle samo od boków
i
, to prosta
jest dwusieczną kąta
. Zatem z twierdzenia o dwusiecznej mamy
![CB-- BO-- CA = OA 6 BO ---= -√--------- 12√ -- 6 5 − BO 6 5 − BO = 2BO √ -- 6 5 = 3BO √ -- 2 5 = BO .](https://img.zadania.info/zad/9915079/HzadR6x.gif)
Stąd . Aby wyliczyć promień
okręgu, korzystamy z podobieństwa trójkątów
i
.
![DO-- = BO-- CA BA -- DO 2 √ 5 ---- = --√--- 12 6 5 DO = 4.](https://img.zadania.info/zad/9915079/HzadR11x.gif)
Pozostało obliczyć długość odcinka . Ponieważ jest to przekątna w kwadracie
, więc
![√ -- √ -- CO = DO 2 = 4 2.](https://img.zadania.info/zad/9915079/HzadR14x.gif)
Sposób II
Tym razem od razu skorzystajmy z podobieństwa trójkątów i
.
![DO-- = CA-- DB CB --x--- 12- 6 − x = 6 x = 1 2− 2x x = 4 .](https://img.zadania.info/zad/9915079/HzadR17x.gif)
Dalej
![∘ ------------ √ ------- √ -- BO = DO 2 + DB 2 = 16+ 4 = 2 5.](https://img.zadania.info/zad/9915079/HzadR18x.gif)
Stąd oraz
.
Odpowiedź: Promień: 4, odległości: ,
i