/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Udowodnij...

Zadanie nr 1065621

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D ,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i FD ⊥ AC .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy z trójkątów ADF , BED i CF E jest trójkątem prostokątnym z kątem 60∘ , czyli połówką trójkąta równobocznego. Jeżeli więc oznaczymy DB = x , CE = y i AF = z , to AD = 2AF = 2z , BE = 2DB = 2x i CF = 2CE = 2y .

ZINFO-FIGURE

Stąd

{ 2z+ x = AB = BC = 2x + y ⇒ 2z = x + y 2x+ y = BC = CA = 2y + z ⇒ 2x = y + z.

Jeżeli odejmiemy od pierwszego z tych równań drugie, to mamy

2z − 2x = x− z ⇒ 3z = 3x ⇒ z = x.

Stąd y = 2z − x = x i wszystkie trzy trójkąty ADF , BED i CF E są przystające. To oczywiście oznacza, że trójkąt DEF jest równoboczny. Musimy jeszcze wyznaczyć skalę podobieństwa k tego trójkąta z trójkątem ABC . Zauważmy, że

∘ ------------ ∘ ----------- √ ---- √ -- DF = AD 2 − AF 2 = (2x )2 − x2 = 3x2 = 3x,

więc

√ -- √ -- k = DF--= --3x-= --3. AB 3x 3

Ponieważ pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, mamy stąd

( √ --)2 PDEF = k2PABC = --3- PABC = 1-PABC . 3 3
Wersja PDF