Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1101814

Trójkąty ABC ,BDE i DF G są równoboczne oraz |AB | = |DF | . Punkty A ,B ,D ,F leżą na jednej prostej. Punkty K,L i M są środkami odcinków EC ,BD i EG . Wykaż, że punkty K ,L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Dorysujmy trójkąt KLM .


PIC


Zauważmy, że odcinek KM jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie CEG , jest więc równoległy do odcinka CG , a ten z kolei jest równoległy do prostej AF (bo z założenia trójkąty ABC i DF G są przystające).

Popatrzmy teraz na odcinek KL . Jest to odcinek łączący środki ramion w trapezie CBDE , czyli jest równoległy do podstaw tego trapezu (zamiast korzystać z własności trapezu mogliśmy skorzystać z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa). Zatem KL ∥ BC . W szczególności

∡MKL = ∡ABC = 60∘.

Podobnie (patrząc na odcinek LM w trapezie BDGE ) uzasadniamy, że LM ∥ DG . Stąd

 ∘ ∡LMK = ∡GDF = 60 .

Uzasadniliśmy, że dwa kąty trójkąta KLM mają miarę 60∘ . To oznacza, że jest to trójkąt równoboczny.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!