/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Udowodnij...

Zadanie nr 2087676

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |BD | = |AE | = 13|AB | . Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech a będzie długością boku trójkąta ABC .

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ABE i BCD mają dwa takie same boki i kąt o mierze 60∘ między tymi bokami.

PIC

Są więc przystające i

∡CDB = ∡BEA .

To zaś oznacza, że trójkąty DBP i EBA mają dwa takie same kąty, czyli są podobne. Aby wyznaczyć ich skalę podobieństwa, obliczymy długość odcinka BE . Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie EBA .

BE 2 = AE 2 + AB 2 − 2 ⋅AE ⋅AB cos60 ∘ 2 BE 2 = a--+ a2 − 2 ⋅ a-⋅a ⋅ 1-= 1-+-9-−-3a2 = 7a2. 9 3 2 9 9

To oznacza, że

( ) PDBP-- BD-- 2 19a2- 1- P = BE = 7a2 = 7. EBA 9

Zauważmy jeszcze, że trójkąty EBA i ABC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B , więc

P EA 1 --EBA-= ----= -. PABC CA 3

Mamy zatem

1 1 1 1 PDBP = -PEBA = --⋅ -PABC = --PABC . 7 7 3 21

Sposób II

Niech F będzie takim punktem odcinka AB , że EF ∥ CD .

PIC

Wiemy że

1 2 BD = 3-a, AD = 3-a.

Trójkąty AF E i ADC są podobne, więc

-AF- AE-- 1- 1- 1- 2- 2- AD = AC = 3 ⇒ AF = 3AD = 3 ⋅ 3a = 9a.

Stąd

FD = AD − AF = 2a − 2-a = 4a 3 9 9 4 1 7 F B = FD + BD = --a+ -a = -a. 9 3 9

Patrzymy teraz na trójkąty podobne DBP i FBE . Ich skala podobieństwa k to

1a k = BD--= 3--= 1-⋅ 9-= 3. FB 79a 3 7 7

Zatem

9 PDBP = k2 ⋅PFBE = ---⋅PFBE . 49

Trójkąty FBE i ABE mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka E , więc

7 PFBE- = FB--= 9a-= 7- ⇒ PFBE = 7-PABE . PABE AB a 9 9

Podobna sytuacja ma też miejsce w przypadku trójkątów ABE i ABC – mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B . Zatem

PABE-- AE-- -13a 1- 1- P = AC = a = 3 ⇒ PABE = 3 PABC . ABC

Łączymy wszystkie otrzymane równości i mamy

-9- 9-- 7- 1- 1- 1-- PDBP = 4 9 ⋅ PFBE = 49 ⋅9PABE = 7 ⋅3PABC = 21PABC .
Wersja PDF