/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Udowodnij...

Zadanie nr 2087676

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |BD | = |AE | = 13|AB | . Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Niech a będzie długością boku trójkąta ABC .

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ABE i BCD mają dwa takie same boki i kąt o mierze ∘ 60 między tymi bokami.

ZINFO-FIGURE

Są więc przystające i

∡CDB = ∡BEA .

To zaś oznacza, że trójkąty DBP i EBA mają dwa takie same kąty, czyli są podobne. Aby wyznaczyć ich skalę podobieństwa, obliczymy długość odcinka BE . Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie EBA .

BE 2 = AE 2 + AB 2 − 2 ⋅AE ⋅AB cos60 ∘ 2 BE 2 = a--+ a2 − 2 ⋅ a-⋅a ⋅ 1-= 1-+-9-−-3a2 = 7a2. 9 3 2 9 9

To oznacza, że

( )2 1 2 PDBP-- BD-- 9a-- 1- PEBA = BE = 7a2 = 7. 9

Zauważmy jeszcze, że trójkąty EBA i ABC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B , więc

PEBA--= EA--= 1. PABC CA 3

Mamy zatem

P = 1P = 1-⋅ 1P = 1-P . DBP 7 EBA 7 3 ABC 21 ABC

Sposób II

Niech F będzie takim punktem odcinka AB , że EF ∥ CD .

ZINFO-FIGURE

Wiemy że

1 2 BD = --a, AD = --a. 3 3

Trójkąty AF E i ADC są podobne, więc

AF AE 1 1 1 2 2 ---- = ----= -- ⇒ AF = -AD = -⋅ -a = -a. AD AC 3 3 3 3 9

Stąd

2 2 4 FD = AD − AF = -a − --a = -a 3 9 9 F B = FD + BD = 4-a+ 1a = 7a. 9 3 9

Patrzymy teraz na trójkąty podobne DBP i F BE . Ich skala podobieństwa k to

BD 1a 1 9 3 k = ----= 37--= --⋅--= -. FB 9a 3 7 7

Zatem

P = k2 ⋅P = -9-⋅P . DBP FBE 49 FBE

Trójkąty F BE i ABE mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka E , więc

PFBE FB 79a 7 7 ----- = ----= ---= -- ⇒ PFBE = --PABE . PABE AB a 9 9

Podobna sytuacja ma też miejsce w przypadku trójkątów ABE i ABC – mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B . Zatem

1 PABE-- AE-- -3a 1- 1- PABC = AC = a = 3 ⇒ PABE = 3 PABC .

Łączymy wszystkie otrzymane równości i mamy

PDBP = -9-⋅ PFBE = 9--⋅ 7PABE = 1-⋅ 1PABC = 1-PABC . 4 9 49 9 7 3 21
Wersja PDF