Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3315086

W trójkąt równoboczny ABC wpisano trójkąt DEF (patrz rysunek), tak że |AD | = |BE | = |CF | . Udowodnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ADF ,BED ,CF E mają kąt mierze 6 0∘ oraz odcinki przylegające do tego kąta w każdym z trójkątów mają tę samą długość. To oznacza, że trójkąty te są przystające. Zatem

DE = EF = F D ,

czyli trójkąt DEF jest równoboczny.

Sposób II

Niech S będzie środkiem trójkąta ABC , a O obrotem płaszczyzny o kąt  ∘ 120 wokół punktu S .


PIC

Zauważmy, że obrót O przekształca odcinek CA na odcinek AB . Ponadto punkt F zostanie przekształcony na punkt odcinka AB , który jest w odległości CF od punktu A , czyli na punkt D . Analogicznie uzasadniamy, że O przekształca D na E i E na F . To jednak oznacza, że trójkąt DEF przechodzi na siebie przy obrocie o  ∘ 120 , musi to więc być trójkąt równoboczny (bo np. wszystkie jego boki muszą mieć tę samą długość).

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!