/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Udowodnij...

Zadanie nr 6213792

W trójkącie równobocznym ABC połączono środki wysokości otrzymując trójkąt P QR . Wykaż, że stosunek pola trójkąta P QR do pola trójkąta ABC jest równy 116- .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka), więc

AS = 2-AD 3 2 1 1 KS = AS − AK = 3AD − 2AD = 6AD 1 KS-- -6AD-- 1- AS = 2AD = 4AD . 3

Analogicznie LS-= MS-= 1 BS CS 4 , co oznacza, że

1 KL = LM = MK = 4AB .

Innymi słowy, trójkąt KLM jest podobny do trójkąta ABC w skali k = 1 4 . W takim razie

2 1 PKLM = k ⋅PABC = ---PABC . 16
Wersja PDF