/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Udowodnij...

Zadanie nr 8163578

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach BC i CA wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |CD | = |AE | = 14|AB | . Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że pole trójkąta AP E jest 52 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech a będzie długością boku trójkąta ABC .

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ABE i ACD mają dwa takie same boki i kąt o mierze ∘ 60 między tymi bokami.

ZINFO-FIGURE

Są więc przystające i

∡ADC = ∡BEA .

To zaś oznacza, że trójkąty AP E i ACD mają dwa takie same kąty, czyli są podobne. Aby wyznaczyć ich skalę podobieństwa, obliczymy długość odcinka AD . Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ACD .

AD 2 = CA 2 + CD 2 − 2⋅ CA ⋅ CD co s60∘ 2 AD 2 = a2 + -a-− 2⋅ a⋅ a-⋅ 1-= 1-6+-1−-4-a2 = 13-a2. 1 6 4 2 1 6 16

To oznacza, że

( ) 2 -1 2 PAPE-- AE-- 16a-- 1-- PACD = AD = 13a2 = 13. 16

Zauważmy jeszcze, że trójkąty ACD i ABC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A , więc

PACD--= CD--= 1-. PABC CB 4

Mamy zatem

P = -1-P = 1--⋅ 1P = 1-P . APE 13 ACD 13 4 ABC 52 ABC

Sposób II

Niech F będzie takim punktem odcinka AC , że DF ∥ BE .

ZINFO-FIGURE

Wiemy że

1 3 AE = -a, CE = -a. 4 4

Trójkąty CF D i CEB są podobne, więc

CF CD 1 1 1 3 3 ----= ---- = -- ⇒ CF = --CE = --⋅--a = ---a. CE CB 4 4 4 4 16

Stąd

3 3 9 F E = CE − CF = -a − ---a = ---a 4 16 16 FA = F E + EA = 9-a + 1a = 1-3a. 16 4 1 6

Patrzymy teraz na trójkąty podobne AP E i ADF . Ich skala podobieństwa k to

EA 1a 1 16 4 k = ----= 143--= --⋅---= ---. FA 16a 4 13 13

Zatem

P = k2 ⋅P = 16--⋅P . APE ADF 169 ADF

Trójkąty ADF i ADC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka D , więc

PADF AF 13a 13 13 ------= ----= 16--= --- ⇒ PADF = --PADC . PADC AC a 16 16

Podobna sytuacja ma też miejsce w przypadku trójkątów ADC i ABC – mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A . Zatem

1 PADC-- CD-- -4a 1- 1- PABC = CB = a = 4 ⇒ PADC = 4PABC .

Łączymy wszystkie otrzymane równości i mamy

PAPE = 16--⋅PADF = 16--⋅ 13-PADC = -1-⋅ 1PABC = 1-PABC . 169 169 16 13 4 52
Wersja PDF