/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Udowodnij...

Zadanie nr 8624390

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE | = 34|CD | . Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |CF | = 196|CB | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Trójkąt ABC jest równoboczny, więc

1- ∘ ∘ ∡BCD = 2 ⋅60 = 30 .

Patrzymy teraz na trójkąty prostokątne CF E i CDB .

√ -- √ -- CF-- ∘ --3- CE---3- CE = cos 30 = 2 ⇒ CF = 2 √ -- CD--= cos 30∘ = --3- ⇒ CB = CD√-- = 2√CD-. CB 2 --3 3 2

Stąd

CE√3- CF--= --2---= CE--⋅ 3-= 3-⋅ 3-= -9-. CB 2C√D- CD 4 4 4 1 6 3

Sposób II

Oznaczmy przez a = BC długość boku trójkąta równobocznego ABC . Mamy zatem

√ -- CD = a--3- 2 √ -- √ -- 3 3 a 3 3 3a CE = -CD = --⋅-----= ------. 4 4 2 8

Długość odcinka CF możemy obliczyć z podobieństwa trójkątów CF E i CDB , lub też wprost z trójkąta prostokątnego CF E :

CF √ 3- √ 3- √ 3- 3√ 3a 9 ----= cos 30∘ = ---- ⇒ CF = ----⋅CE = ----⋅------ = ---a. CE 2 2 2 8 16

Stąd

CF-- -916a -9- CB = a = 1 6.
Wersja PDF