/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Udowodnij...

Zadanie nr 9700205

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt F leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CF | = 13|CD | . Punkt E leży na boku AC i odcinek EF jest prostopadły do AC (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |CE | = 14|CA | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Trójkąt ABC jest równoboczny, więc

1- ∘ ∘ ∡ACD = 2 ⋅6 0 = 30 .

Patrzymy teraz na trójkąty prostokątne CEF i CDA .

√ -- √ -- CE-- ∘ --3- CF---3- CF = cos3 0 = 2 ⇒ CE = 2 √ -- CD--= cos3 0∘ = --3- ⇒ CA = C√D--= 2√CD--. CA 2 --3 3 2

Stąd

CF-√3 CE--= --2---= CF--⋅ 3-= 1-⋅ 3-= 1-. CA 2√CD- CD 4 3 4 4 3

Sposób II

Oznaczmy przez a = AC długość boku trójkąta równobocznego ABC . Mamy zatem

√ -- CD = a--3- 2 √ -- √ -- 1 1 a 3 a 3 CF = --CD = --⋅ -----= ----. 3 3 2 6

Długość odcinka CE możemy obliczyć z podobieństwa trójkątów CEF i CDA , lub też wprost z trójkąta prostokątnego CEF :

CE √ 3- √ 3- √ 3- a√ 3- 1 ----= co s30∘ = ---- ⇒ CE = ----⋅CF = ----⋅----- = --a. CF 2 2 2 6 4

Stąd

CE-- 14a- 1- CA = a = 4.
Wersja PDF