/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Udowodnij...

Zadanie nr 9900662

Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B ,C,N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM | = |CN | . Wykaż, że |BM | = |MN | .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Niech E będzie takim punktem odcinka AB , że AE = AM .

PIC

Trójkąt AEM jest więc równoboczny, zatem ME = AM = NC . Ponadto

ME ∥ NB ∥ NC .

To oznacza, że czworokąt MECN jest równoległobokiem. Zatem MN = EC . Teraz wystarczy zauważyć, że przekątne trapezu równoramiennego BCME mają równe długości, czyli

MN = EC = MB .

Sposób II

Niech F będzie takim punktem boku BC , że AM = BF . Wtedy trójkąt MF C jest równoboczny, więc MF = FC . Ponadto

∘ ∡MF B = ∡MCN = 120 .

To oznacza, że trójkąty MF B i MCN są przystające (mają dwa takie same boki i kąt między tymi bokami). W takim razie MB = MN .

Sposób III

Niech G będzie takim punktem na przedłużeniu boku AB , że AG = AM = CN .

PIC

Trójkąt BNG jest równoboczny (bo BG = BN i ∘ ∡GBN = 60 ), a trójkąt GAM równoramienny. W takim razie

1 80∘ − ∡GAM ∡AGM = --------------- = 30∘. 2

To oznacza, że prosta GM jest wysokością w trójkącie równobocznym BGN . Jest to więc też symetralna odcinka BN . Zatem MB = MN .

Sposób IV

Oznaczmy AM = CN = x oraz AB = AC = a . Widać, że przy tych oznaczeniach łatwo obliczyć długości odcinków BM i MN korzystając z twierdzenia cosinusów.

BM 2 = AB 2 + AM 2 − 2AB ⋅AM cos 60∘ = a2 + x2 − ax 2 2 2 ∘ 2 2 MN = CM + CN − 2CM ⋅CN cos 120 = (a − x) + x + (a − x)x = = a2 − 2ax + x 2 + x2 + ax− x2 = a2 − ax + x2.

Widać zatem, że rzeczywiście BM = MN .

Wersja PDF