/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Oblicz długość...

Zadanie nr 3552132

Na boku BC trójkąta równobocznego ABC wybrano taki punkt D , że pole trójkąta ABD jest równe √ -- 6 3 i jest dwa razy większe od pola trójkąta ADC (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz długość odcinka AD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że ple trójkąta ABC jest równe

1 3 3 √ -- √ -- PABD + PADC = PABD + -PABD = -PABD = --⋅6 3 = 9 3 . 2 2 2

Jeżeli więc a jest długością boku trójkąta ABC , to

2√ -- a---3- √ -- 2 4 = 9 3 ⇒ a = 36 ⇒ a = 6.

Trójkąty ABD i ADC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A , więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw

PABD-- DB-- 2 = PADC = DC = 2.

Zatem DB = 2BC = 4 3 i DC = 1BC = 2 3 .

PIC

Długość odcinka AD obliczamy stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD .

AD 2 = BA 2 + BD 2 − 2BA ⋅BD cos 60∘ 1 AD 2 = 36 + 16 − 2 ⋅6⋅ 4⋅ --= 52 − 24 = 28 √ --- √ -- 2 AD = 28 = 2 7.

 
Odpowiedź: AD = 2√ 7-

Wersja PDF