/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Oblicz długość...

Zadanie nr 5670373

Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ABC poprowadzono prostą równoległą do boku BC i przecinającą bok AB w punkcie D . Oblicz iloraz |DC-| |DB | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy długość boku trójkąta równobocznego przez a . Wiemy, że środek trójkąta równobocznego dzieli wysokość w stosunku 2 : 1 , czyli

AD-- 1- a- DB = 2 ⇒ DB = 3AB = 3.

Możemy teraz z twierdzenia cosinusów wyliczyć długość odcinka DC . Liczymy

DC 2 = BD 2 + BC 2 − 2⋅BD ⋅BC cos 60∘ 2 DC 2 = a--+ a2 − 2⋅ a-⋅a⋅ 1- 9 3 2 10 a2 10 3 7 DC 2 = --a 2 − --= ---a2 − -a2 = -a2 √9-- 3 9 9 9 --7- DC = 3 a.

Zatem

√ - DC --7a √ -- ----= -3a- = 7 . DB 3

 
Odpowiedź: √ -- 7

Wersja PDF