Zadanie nr 9981174

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 24. Punkt leży na boku , a punkt – na boku tego trójkąta. Odcinek jest równoległy do boku i przechodzi przez środek wysokości trójkąta ABC (zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że trójkąt EBF ma takie same kąty jak trójkąt ABC , więc też jest równoboczny. Nie jest też trudno obliczyć długość jego boku. Ponieważ odcinek jest równoległy do boku trójkąta ADC i przechodzi przez środek jego boku , jest to odcinek łączący środki boków w tym trójkącie. To z kolei oznacza, że punkt jest środkiem odcinka . Stąd

EF = EB = ED + DB = 6 + 12 = 18.

Sposób II

Tym razem połączmy środek odcinka ze środkiem odcinka .

Odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie prostokątnym ADC , więc

1 ES = -AC = 12. 2

Analogicznie, odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie CDG . Jednocześnie trójkąt DBG jest trójkątem równobocznym o boku DB = 12 . Mamy więc

SF = 1DG = 1-DB = 6 . 2 2

Stąd

EF = ES + SF = 12+ 6 = 18.

Sposób III

Punkt jest środkiem wysokości trójkąta równobocznego ABC , więc

√ -- SD = SC = 1CD = 1-⋅ 24--3 = 6√ 3. 2 2 2

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny EDS .

SD sin∡SED = ---- SE √ -- √ -- ---SD----- --6--3- 6--3- SE = sin∡SED = sin 60∘ = √3- = 1 2. 2

Zauważmy teraz, że trójkąt CSF jest równoramienny (bo ∘ ∡CSF = ∡SCF = 30 ), więc jego wysokość dzieli jego podstawę na dwie równe części. Zatem

1- √ -- SH = 2 SC = 3 3.

Możemy więc obliczyć długość odcinka dokładnie tak samo jak obliczyliśmy długość odcinka . My dla urozmaicenia postąpimy jednak inaczej – zauważmy, że trójkąty prostokątne EDS i FHS są podobne, i znamy skalę ich podobieństwa