/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Kąty

Zadanie nr 4458470

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 16. Na boku BC obrano punkt D dzielący ten bok w stosunku 3:5, licząc od punktu B . Oblicz sinus kąta BAD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Zauważmy, że z podanych informacji mamy

BD = 3-⋅16 = 6 8 5- CD = 8 ⋅16 = 10.

Sposob I

Obliczmy najpierw długość odcinka AD (z twierdzenia cosinusów).

2 2 2 ∘ AD = AB + BD − 2AB ⋅BD co s60 2 1- AD = 2 56+ 36− 2⋅1 6⋅6 ⋅2 = 196 √ ---- AD = 1 96 = 14.

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ABD

-AD---- = -BD-- sin60 ∘ sin α √ -- √ -- 14 6 6 3 3 3 √-- = ----- ⇒ sin α = ---⋅----= -----. -23 sin α 14 2 14

Sposób II

Zauważmy, że ∡ADB = 18 0∘ − (60∘ + α) , więc stosując wzór na sinus sumy mamy

sin∡ADB = sin(18 0∘ − (60∘ + α)) = sin(60∘ + α) = √ -- = sin 60∘co sα + sinα cos 60∘ = --3-cos α + 1-sin α. 2 2

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ABD .

AB DB sin-∡ADB---= sinα- ( √ -- ) --3- 1- 16 sin α = 6 2 cosα + 2 sin α √ -- 16 sin α = 3 3cos α+ 3sin α √ -- 2 13 sin α = 3 3cos α / () 169 sin 2α = 27cos2 α = 27(1 − sin2 α) 196 sin 2α = 27 ⇒ sin2 α = -27-. 19 6

Ponieważ α jest kątem ostrym, mamy stąd

∘ ---- √ -- sin α = -27-= 3--3-. 196 14

Sposob III

Zadanie ma znacznie prostsze rozwiązanie, jeżeli wykorzystamy odrobinę więcej geometrii. Dorysujmy wysokość CE oraz równoległy do niej odcinek DF . Szukany sinus możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego AF D , aby jednak móc to zrobić musimy najpierw obliczyć długości odcinków AF i AD . Trójkąty BF D i BEC są podobne oraz znamy ich skalę podobieństwa

k = BD--= 3. BC 8

Mamy stąd

√ -- DF = 3-⋅CE = 3-⋅ 1-6-3 = 3 √ 3- 8 8 2 3 3 F B = -EB = -⋅ 8 = 3 ⇒ AF = 16− 3 = 13. 8 8

Mamy zatem

∘ ------------ ---- AD = AF 2 + DF 2 = √ 169+--27-= √ 19 6 = 14

oraz

√ -- DF 3 3 sin α = ----= -----. AD 14

 
Odpowiedź: 3√-3 14

Wersja PDF