/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Kąt prosty

Zadanie nr 5616926

  • Uzasadnij, że jeśli długości boków trójkąta są równe p 2 − q2 , 2pq i p 2 + q2 , gdzie p i q są liczbami dodatnimi takimi, że p > q , to trójkąt ten jest prostokątny.
  • Wyznacz wszystkie naturalne wartości p i q , dla których najkrótszy bok otrzymanego trójkąta ma długość 13.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Musimy sprawdzić, czy suma kwadratów dwóch z podanych liczb jest równa kwadratowi trzeciej. Nietrudno zgadnąć, że największą z tych liczb jest p2 + q2 , musimy więc uzasadnić, że
    (p2 − q2)2 + (2pq )2 = (p2 + q2)2 p4 + q4 − 2p 2q 2 + 4p 2q2 = p4 + q4 + 2p2q2.

    Otrzymana równość jest oczywiście zawsze prawdziwa, co kończy dowód.

  • Ponieważ nie widać specjalnie, która z liczb p 2 − q 2 czy 2pq jest mniejsza, powinniśmy rozważyć dwa przypadki. Jednak 2pq jest zawsze liczbą parzystą, nie może więc być równe 13. Zatem mamy równość
    13 = p2 − q2 = (p − q)(p + q).

    Ponieważ 13 jest liczbą pierwszą i liczby w obu nawiasach są liczbami naturalnymi, musimy mieć

    { p − q = 1 p + q = 13 .

    Dodając te równania stronami mamy p = 7 , czyli q = 6 oraz pozostałe boki trójkąta są równe odpowiednio

    2pq = 84 p2 + q2 = 85 .

     
    Odpowiedź: 84 i 85

Wersja PDF