/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Zadanie nr 1511586

W trójkącie ABC poprowadzono odcinki AD ,BE i CF w ten sposób, że punkty D ,E i F są środkami odpowiednio odcinków BE ,CF i AD . Wykaż, że pole trójkąta DEF jest siedem razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy PEFD = S i dorysujmy odcinki AE ,BF i CD .

PIC

Zauważmy teraz, że każde dwa z utworzonych trójkątów mają równe pola.
Trójkąty AF E i DEF mają wspólną wysokość opuszczoną z E , więc

PAFE- AF-- PDEF = DF = 1 ⇒ PAFE = S .

Trójkąty BF D i DEF mają wspólną wysokość opuszczoną z F , więc

PBFD- BD-- PDEF = DE = 1 ⇒ PBFD = S.

Trójkąty CED i DEF mają wspólną wysokość opuszczoną z D , więc

PCED-- CE-- PDEF = EF = 1 ⇒ PCED = S.

Analogicznie uzasadniamy, że

PABF = PBFD = S PBCD = PCED = S PCAE = PAFE = S.

W takim razie

PABC = 7S = 7⋅ PDEF.
Wersja PDF