/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Zadanie nr 1551878

Na bokach trójkąta ABC zbudowano kwadraty ABKL , BCMN i CAOP (zobacz rysunek).

PIC

Kąty BAC i ABC są ostre oraz suma ich tangensów jest równa 52 . Wykaż, że jeżeli pole kwadratu ABKL jest pięć razy większe od pola trójkąta ABC , to suma pól kwadratów BCMN i CAOP też jest pięć razy większa od pola trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zastanówmy się przez chwilę co mamy udowodnić. Mamy pokazać, że

PBCMN + PCAOP = 5PABC = PABKL ,

czyli, że

BC 2 + CA 2 = AB 2.

Mówiąc jeszcze inaczej, musimy wykazać, że trójkąt ABC jest prostokątny i ∡C = 90∘ .

Teraz zajmijmy się podanymi założeniami. Przyjmijmy oznaczenia z poniższego rysunku.

PIC

Mamy zatem

2 5 = PABKL--= ---c-----= --2c--. PABC 1bcsin α bsin α 2

Możemy tę równość całkowicie zapisać w języku kątów trójkąta ABC – wystarczy, że skorzystamy z twierdzenia sinusów.

b c c sin γ ----- = ----- ⇒ --= -----. sinβ sin γ b sin β

Mamy zatem

c 1 sin γ 1 5 5 = 2 ⋅--⋅----- = 2 ⋅----- ⋅----- ⇒ sin γ = --sin α sin β. b sin α sin β sin α 2

Na razie nie widać co możemy dalej z tym zrobić, więc popatrzmy na podaną informację o sumie tangensów kątów α i β .

5 sin α sin β sin α cosβ + sin β cosα --= tg α + tgβ = ----- + ----- = -----------------------= 2 cos α co sβ cos αco sβ sin (α+ β) sin (π − γ ) sinγ 5 sin α sin β 5 = -----------= -----------= -----------= 2-----------= --tgα tgβ . cosα cos β cos αco sβ cos αco sβ cosα cos β 2

Stąd

tg α tg β = 1.

Pozostało wywnioskować z tej równości, że α+ β = 90 ∘ . Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Wiemy, że

-1-- ∘ tg α = tg β = tg (90 − β ).

Po obu stronach tej równości mamy jednak kąty ostre, dla których tangens jest różnowartościowy. Zatem

∘ ∘ ∘ α = 90 − β ⇒ α+ β = 90 ⇒ γ = 9 0 .

Sposób II

Podnieśmy równość

1 = tg αtg β = sin-α-⋅ sin-β- cosα cosβ

stronami do kwadratu.

sin2α- sin-2β- --sin2α--- --sin-2β--- 1 = cos2α ⋅ cos2β = 2 ⋅ 2 1 − sin α 1− sin β sin 2α sin 2β = (1 − sin2 α)(1− sin 2β) 2 2 2 2 2 2 sin α sin β = 1 − sin α− sin β + sin α sin β sin 2β = 1 − sin2 α = cos2 α = sin2(90∘ − α).

Ponieważ po obu stronach mamy kąty ostre, mamy stąd

∘ ∘ ∘ β = 90 − α ⇒ α+ β = 90 ⇒ γ = 9 0 .
Wersja PDF