/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Zadanie nr 2250467

Dany jest trójkąt ABC . Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D ,E i F tak, że |AD | = |DE | = |EF| = 3|F B| . Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG ∥ EC oraz FH ∥ EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta ADG jest równe S , to pole trójkąta F BH jest równe 1 6S .

ZINFO-FIGURE

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wysokość opuszczona z wierzchołka C w trójkącie ABC jest jednocześnie wysokością w każdym z trójkątów: AEC i BEC .

ZINFO-FIGURE

To oznacza, że

PAEC-- -12AE--⋅h AE-- ---2EF--- 6FB-- 3- P = 1 = BE = EF + F B = 4FB = 2 . BEC 2BE ⋅ h

Trójkąty ADG i BF H są podobne odpowiednio do trójkątów AEC i BEC . Skale tych podobieństw to odpowiednio AADE-= 12 i BBFE-= 14 . Mamy zatem

PADG 14PAEC 3 ------= 1------ = 4 ⋅--= 6. PBFH 16PBEC 2

Stąd

P = 1-P = 1S. BFH 6 ADG 6
Wersja PDF