Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2357921

W trójkącie ABC bok AC ma długość b , |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

 2 2 2 b-sin--α-+ b--sin-2α-. 2 tgβ 4
Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Pole trójkąta ABC jest oczywiście równe

P = 1bc sin α, 2

gdzie c = AB . Musimy więc tylko obliczyć c w zależności od b,α i β .

Na mocy twierdzenia sinusów mamy

--b--= ----------c--------- = -----c----- sinβ sin(180 ∘ − (α + β )) sin(α + β ) c = b-sin-(α+--β) = b(sin-α-cosβ-+--sin-β-cosα-)= sin β sin β b sin α b sin α = --sinβ--+ b cosα = -------+ b cosα . cosβ tg β

Pole trójkąta ABC jest więc równe

 ( ) 1- 1- bsin-α- P = 2bc sinα = 2b sin α tgβ + bco sα = 2 2 2 2 2 2 b--sin--α- 2b--sinα-cos-α b--sin-α- b-sin-2α- = 2 tgβ + 4 = 2tg β + 4 .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!