/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Zadanie nr 2357921

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC bok AC ma długość b , |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

2 2 2 b-sin--α-+ b--sin-2α-. 2 tgβ 4

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Pole trójkąta ABC jest oczywiście równe

P = 1bc sin α, 2

gdzie c = AB . Musimy więc tylko obliczyć c w zależności od b,α i β .

Na mocy twierdzenia sinusów mamy

--b--= ----------c--------- = -----c----- sinβ sin(180 ∘ − (α + β )) sin(α + β ) c = b-sin-(α+--β) = b(sin-α-cosβ-+--sin-β-cosα-)= sin β sin β b sin α b sin α = --sinβ--+ b cosα = -------+ b cosα . cosβ tg β

Pole trójkąta ABC jest więc równe

( ) 1- 1- bsin-α- P = 2bc sinα = 2b sin α tgβ + bco sα = 2 2 2 2 2 2 b--sin--α- 2b--sinα-cos-α b--sin-α- b-sin-2α- = 2 tgβ + 4 = 2tg β + 4 .
Wersja PDF