/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Zadanie nr 2918993

Wykaż, że pole trójkąta o bokach a,b,c i promieniu R okręgu opisanego na nim jest równe a4bRc .

Wersja PDF

Rozwiązanie

PIC

Wyprowadźmy najpierw znany wzór

P = 1bc sin α. 2

W tym celu zauważmy, że

h --= sin α ⇒ h = bsinα . b

Mamy stąd

1 1 P = --ch = --cbsin α. 2 2

Jeżeli teraz skorzystamy z twierdzenia sinusów

--a-- = 2R , sin α

to mamy

P = 1cbsin α = 1-cb⋅ -a-= abc-. 2 2 2R 4R
Wersja PDF