/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Zadanie nr 3515923

Na bokach AC i BC trójkąta ABC obrano punkty P i Q takie, że |AP | : |PC | = 2 : 1 oraz |BQ | : |QC | = 2 : 1 . Odcinki AQ i BP przecinają się w punkcie R . Wykaż, że pole czworokąta CP RQ jest równe polu trójkąta ARP .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że wystarczy wykazać, że pole trójkąta ARP stanowi połowę pola trójkąta AQC . Wiemy jaki jest stosunek podstaw tych trójkątów: AP = 23AC , pozostało ustalić stosunek ich wysokości h 1 i h2 .

Zauważmy najpierw, że na mocy twierdzenia Talesa

P-Q- P-C- 1- AB = AC = 3 .

Zauważmy ponadto, że trójkąty QP R i ABR są podobne (mają równe kąty) i obliczony wyżej iloraz jest ich skalą podobieństwa. Stąd AR = 3RQ oraz

h2 AR AR 3RQ 3 ---= ----= ----------= ----- = --. h1 AQ AR + RQ 4RQ 4

To oznacza, że

1 1 2 3 1 1 1 PARP = --⋅AP ⋅h2 = --⋅ -AC ⋅--h1 = --⋅--AC ⋅h1 = --PAQC . 2 2 3 4 2 2 2

Stąd

PCPRQ = PAQC − PARP = 2PARP − PARP = PARP .

Sposób II

Tym razem dorysujmy odcinek CR . Zauważmy, że trójkąty ARP i PRC mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą AC , a stosunek długości podstaw tych trójkątów odpowiadających tej wysokości jest równy 2:1. Stąd

PARP = 2PPRC .

Podobnie, patrząc na trójkąty BRQ = QRC , uzasadniamy

PBRQ = 2PQRC .

Mamy stąd

PCPRQ = PPRC + PQRC = 1PARP + 1PBRQ . 2 2

Wystarczy teraz wykazać, że PARP = PBRQ .

Zauważmy, że trójkąty ABP i ABQ mają wspólną podstawę AB oraz równe wysokości opuszczone na tę podstawę. Trójkąty te mają więc równe pola. To oznacza, że

PABP = PABQ PABR + PARP = PABR + PBRQ PARP = PBRQ .

To oznacza, że

1- 1- 1- 1- PCPRQ = 2PARP + 2 PBRQ = 2PARP + 2PARP = PARP .
Wersja PDF