/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Zadanie nr 4868105

Punkty i oraz i dzielą odpowiednio boki i trójkąta ABC w stosunku 1 : 1 : 2 (zobacz rysunek). Odcinki i przecinają się w punkcie .

Uzasadnij, że pola trójkątów KMS i LNS są równe.

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki i .

Trójkąty CMN , CKL i CAB mają wspólny kąt przy wierzchołku oraz proporcjonalne boki wychodzące z tego wierzchołka. Zatem każde dwa z nich są do siebie podobne. W szczególności MN ∥ KL ∥ AB , czyli czworokąt KLNM jest trapezem (mogliśmy też to uzasadnić korzystając z twierdzenia Talesa). To z kolei oznacza, że trójkąty KNL i KML mają wspólną podstawę oraz równe wysokości opuszczone na tę podstawę. Zatem