/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Zadanie nr 4868105

Punkty K i M oraz L i N dzielą odpowiednio boki AC i BC trójkąta ABC w stosunku 1 : 1 : 2 (zobacz rysunek). Odcinki KN i LM przecinają się w punkcie S .


PIC


Uzasadnij, że pola trójkątów KMS i LNS są równe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki KL i MN .


PIC


Trójkąty CMN , CKL i CAB mają wspólny kąt przy wierzchołku C oraz proporcjonalne boki wychodzące z tego wierzchołka. Zatem każde dwa z nich są do siebie podobne. W szczególności MN ∥ KL ∥ AB , czyli czworokąt KLNM jest trapezem (mogliśmy też to uzasadnić korzystając z twierdzenia Talesa). To z kolei oznacza, że trójkąty KNL i KML mają wspólną podstawę KL oraz równe wysokości opuszczone na tę podstawę. Zatem

PKNL = PKML P + P = P + P / − P KSL LNS KSL KMS KSL PLNS = PKMS .
Wersja PDF
spinner