Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1435064

Wykaż, że jeżeli α ≤ β ≤ γ są kątami wewnętrznymi trójkąta rozwartokątnego, to

sin2 α < sin2γ − sin2 β.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.


PIC


Korzystając z twierdzenia sinusów

--a-- = -b---= --c-- = 2R sin α sin β sinγ

możemy zamienić nierówność, którą mamy udowodnić na nierówność równoważną.

 sin 2α < sin2 γ− sin 2β 2 2 2 -a-- < -c--− -b-- / ⋅4R 2 4R 2 4R 2 4R 2 a2 + b2 < c2.

Zauważmy teraz, że rozwartokątność trójkąta oznacza, że γ > 90∘ , czyli cosγ < 0 . Na mocy twierdzenia cosinusów

 2 2 2 c = a + b − 2ab cosγ

mamy więc

 2 2 2 co sγ = a-+--b-−--c-< 0. 2ab

Licznik powyższego ułamka musi być ujemny, więc rzeczywiście

a2 + b2 < c2.
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!