/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Kąty

Zadanie nr 2311104

Wykaż, że jeśli a,b,c są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi, że a < b < c oraz α,β,γ są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio na przeciwko boków a,b,c , to tg α < tg β < tgγ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku

PIC

Na mocy twierdzenia sinusów mamy

a < b < c 2R sinα < 2R sinβ < 2R sinγ / : 2R sin α < sinβ < sin γ .

Ponieważ funkcja y = sin x jest rosnąca w przedziale ⟨ π⟩ 0 ,2- , powyższa nierówność oznacza, że

α < β < γ .

Teraz korzystamy z faktu, że funkcja y = tgx jest rosnąca w przedziale ⟨0, π-) 2 . Mamy zatem

tgα < tg β < tg γ.
Wersja PDF