Zadanie nr 6739033

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami trójkąta, to

α β γ sinα + sin β + sin γ = 4co s--cos --cos -. 2 2 2

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy prawą stronę równości podstawiając ∘ γ = 180 − (α + β)

α β ( ( α β ) ) P = 4cos --cos --cos 90∘ − --+ -- = 2 2 ( ) 2 2 α β α β = 4cos 2-cos 2-sin 2-+ 2- = ( ) α- β- α- β- β- α- = 4cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 + sin 2 c os2 = = 2sinα cos2 β-+ 2 sin β cos2 α. 2 2

Po drodze skorzystaliśmy ze wzorów na sin(x + y) i sin 2x . Aby przekształcić to wyrażenie dalej, korzystamy ze wzoru:

x x cosx = 2co s2--− 1 ⇒ 2co s2--= 1+ cosx . 2 2

Mamy zatem

P = sin α(1+ cosβ )+ sin β(1 + sinα ) = = sinα + sin β + sin (α + β).

Oczywiście jest to to samo, co z lewej strony równości:

L = sin α + sinβ + sin(1 80∘ − (α+ β)) = = sin α+ sin β + sin(α + β ).

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzorów na sumę sinusów i cosinusów

x+--y- x−--y- sin x + siny = 2sin 2 cos 2 x+ y x − y cosx + co sy = 2 cos -----co s------, 2 2

oraz ze wzoru na sin 2x . Mamy zatem

α + β α − β γ γ L = sin α+ sin β + sin γ = 2 sin ------co s------+ 2sin --cos --= ( ) 2 ( 2 ) 2 2 = 2 sin 90∘ − γ- cos α-−-β-+ 2sin 9 0∘ − α+--β- cos γ = 2 2 2 2 γ α− β α + β γ = 2 cos --cos ------+ 2 cos------c os-- = 2 ( 2 2 ) 2 γ- α-−-β- α+--β- = 2 cos 2 cos 2 + cos 2 = α−β α+ β α−β α+ β ( ) γ- --2--+---2- --2--−---2- γ- α- β- = 2 cos 2 ⋅2 cos 2 cos 2 = 4 cos 2 cos 2 co s − 2 = P .