Zadanie nr 2186307

Trzy cięciwy okręgu o promieniu tworzą trójkąt wpisany w ten okrąg. Dwie najkrótsze z tych cięciw mają długości 12r i √ -- r 3 . Wykaż, że trzecia cięciwa ma długość - 1+-3√5 4 r .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od rysunku.

Robiąc go można zauważyć, że możliwe są dwie konﬁguracje: gdy narysujemy już cięciwę długości √ -- r 3 to cięciwę długości 1r 2 możemy narysować na dwa sposoby – po dwóch stronach pierwszej z cięciw. Przypadki te różnią się tym, że w jednym z nich zaznaczony kąt jest ostry, a w drugim rozwarty. Na szczęście z założenia interesuje nas tylko pierwszy przypadek, bo w drugim najdłuższą z cięciw byłaby √ -- AC = r 3 . To znacznie uprości rozwiązanie.

Sposób I

Długość trzeciego boku trójkąta obliczymy z twierdzenia sinusów, ale zanim to zrobimy, obliczmy funkcje trygonometryczne dwóch kątów trójkąta. Stosujemy twierdzenie sinusów.

√ -- √ -- AC r 3 3 ----- = 2r ⇒ sin β = -----= ---- sinβ 2r 2 AB 1r 1 ----- = 2r ⇒ sinγ = 2--= -. sinγ 2r 4

Ponieważ, jak już zauważyliśmy z założenia jest największym kątem trójkąta ABC , mamy stąd

∘ ---------- ∘ ------ 2 3- 1- cosβ = 1 − sin β = 1 − 4 = 2 ∘ ---------- ∘ ------- √ --- co sγ = 1 − sin2γ = 1 − -1- = --1-5. 1 6 4

Możemy teraz obliczyć sin α – korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

sinα = sin (180∘ − (β + γ )) = sin (β+ γ) = sin βco sγ + sin γco sβ = √ -- √ -- 3--5- 1- 1-+-3--5- = 8 + 8 = 8 .

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów.

x 1 + 3√ 5- r √ -- -----= 2r ⇒ x = 2r⋅sin α = 2r ⋅---------= -(1 + 3 5 ). sinα 8 4

Sposób II

Tym razem będziemy łączyć ze sobą twierdzenia sinusów i cosinusów. Z twierdzenia sinusów mamy

√ -- √ -- r--3- --3- 2r = sinβ ⇒ sin β = 2 .

Ponieważ jest kątem ostrym, mamy stąd β = 60∘ . Piszemy teraz twierdzenie cosinusów.

1 3r2 = x 2 + -r2 − rxcos β 4 2 2 1-2 1- 3r = x + 4r − 2rx / ⋅2 1 6r2 = 2x 2 + -r2 − rx 2 2x2 − rx − 1-1r2 = 0 2 Δ = r2 + 44r2 = 45r2 √ -- √ -- r−-3---5r- r+--3--5r- x1 = 4 < 0, x 2 = 4 .

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy

√ -- 1-+-3--5- x = 4 r.

Sposób III

Pomysł jest taki, żeby obliczyć szukaną długość trzeciego boku z twierdzenia cosinusów. Aby to zrobić, potrzebujemy znać cos α . Dokładnie tak samo jak I sposobie obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kątów i . To pozwala obliczyć cos α – korzystamy ze wzoru na cosinus sumy.