Zadanie nr 2726434
Dany jest trójkąt , który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta jest dwa razy większa od miary kąta . Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt.
Przy oznaczeniach z rysunku, mamy udowodnić, że
Na mocy twierdzenia sinusów mamy
Sposób I
Jeszcze raz korzystamy z twierdzenia sinusów.
Sposób II
Piszemy twierdzenie cosinusów.
Wiemy, że trójkąt nie jest równoramienny, więc i wyrażenie w drugim nawiasie jest niezerowe. Zatem
.
Sposób III
Tym razem dorysujmy dwusieczną i oznaczmy . Trójkąt jest równoramienny, więc
Ponadto
więc trójkąt jest podobny do trójkąta (mają takie same kąty). Stąd
Mamy zatem