/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Długości odcinków

Zadanie nr 3264062

Pole trójkąta ABC jest równe S , a długości jego boków AC i BC są odpowiednio równe b i a . Na bokach AC i BC zbudowano kwadraty o środkach odpowiednio D i E .

PIC

Wykaż, że

2 2 DE 2 = a--+-b- + 2S . 2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy przekątne kwadratów i oznaczmy ∡ACB = γ .

PIC

Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie CDE .

2 2 2 ∘ DE = CD + CE − 2CD ⋅CE cos(90 + γ ) = ( √ --)2 ( √ --) 2 ( √ --) ( √ -) = b--2- + a--2- + 2 ⋅ b--2- ⋅ a---2 sinγ = 2 2 2 2 b2-+-a2 b2 +-a2 = 2 + ab sin γ = 2 + 2S.
Wersja PDF