Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3934122

W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC trójkąta w punkcie D . Wykaż, że

BD-- = AB-. DC AC
Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Sposób I

Trójkąty BDA i ADC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A , więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw. Zatem

BD-- PBDA-- 12ax-sin-α2 a- DC = P = 1 α = b . ADC 2bx sin 2

Sposób II

Tak samo jak w poprzednim sposobie zauważamy, że

BD-- PBDA-- DC = P . ADC

Teraz zauważmy jeszcze, że punkty dwusiecznej są jednakowo odległe od obu ramion kąta, więc odległości punktu D od boków AB i AC trójkąta są równe – oznaczmy tę odległość przez h . Mamy zatem

 1 BD-- = PBDA-- = -2AB--⋅h = AB-. DC PADC 12AC ⋅h AC

Sposób III

Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkątach ABD i ACD .

 β -AB-- -BD-- AB--sin-2- sinφ = β- ⇒ BD = sin φ sin 2 AC DC AC sin β -------∘------ = ----β ⇒ DC = -------∘--2--. sin(180 − φ ) sin 2- sin (1 80 − φ)

Ponieważ sin (180∘ − φ) = sin φ mamy stąd

 AB-sin-β2 BD--= --sinφ---= AB--. DC AC-sin-β2 AC sinφ

Sposób IV

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii. Niech  ′ B będzie takim punktem prostej AB , że  ′ AB = AC , a S punktem wspólnym  ′ CB i dwusiecznej AD .


PIC

Trójkąt AB ′C jest równoramienny, więc jego dwusieczna AS jest jednocześnie jego wysokością oraz symetralną boku B′C . W takim razie proste B ′C i AD są prostopadłe oraz B′S = SC . Jeżeli teraz wybierzemy na dwusiecznej AD taki punkt  ′ D , że  ′ BD ∥ B D , to trójkąty CDS i  ′ ′ B D S mają równe kąty oraz równe odpowiadające sobie przyprostokątne  ′ SC = SB . Są więc przystające i B′D ′ = DC . Pozostało teraz skorzystać z podobieństwa trójkątów ABD i AB ′D′ .

-AB- = AB--= -BD-- = BD--. AC AB ′ B ′D ′ DC

Równość, którą udowodniliśmy nosi nazwę twierdzenia o dwusiecznej.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!