/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Długości odcinków

Zadanie nr 3934122

W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC trójkąta w punkcie D . Wykaż, że

BD-- = AB-. DC AC
Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


ZINFO-FIGURE


Sposób I

Trójkąty BDA i ADC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A , więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw. Zatem

BD PBDA 1ax sin α a ----= ------= 21-------2α = --. DC PADC 2bx sin 2 b

Sposób II

Tak samo jak w poprzednim sposobie zauważamy, że

BD-- = PBDA-. DC PADC

Teraz zauważmy jeszcze, że punkty dwusiecznej są jednakowo odległe od obu ramion kąta, więc odległości punktu D od boków AB i AC trójkąta są równe – oznaczmy tę odległość przez h . Mamy zatem

 1 BD-- = PBDA-- = -2AB--⋅h = AB-. DC PADC 12AC ⋅h AC

Sposób III

Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkątach ABD i ACD .

 β- -AB-- = -BD-- ⇒ BD = AB--sin-2 sinφ sin β- sin φ 2 AC DC AC sin β2 sin(180∘-−-φ-) = ----β- ⇒ DC = sin-(1-80∘ −-φ). sin 2

Ponieważ sin(1 80∘ − φ) = sin φ mamy stąd

 β AB-sin-2 BD--= --sinφ---= AB--. DC AC-sin-β2 AC sinφ

Sposób IV

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii. Niech B ′ będzie takim punktem prostej AB , że AB ′ = AC , a S punktem wspólnym CB ′ i dwusiecznej AD .


ZINFO-FIGURE

Trójkąt  ′ AB C jest równoramienny, więc jego dwusieczna AS jest jednocześnie jego wysokością oraz symetralną boku B′C . W takim razie proste B′C i AD są prostopadłe oraz B′S = SC . Jeżeli teraz wybierzemy na dwusiecznej AD taki punkt D ′ , że BD ∥ B′D , to trójkąty CDS i B′D ′S mają równe kąty oraz równe odpowiadające sobie przyprostokątne  ′ SC = SB . Są więc przystające i B ′D ′ = DC . Pozostało teraz skorzystać z podobieństwa trójkątów ABD i AB ′D ′ .

-AB- = AB--= -BD-- = BD--. AC AB ′ B ′D ′ DC

Równość, którą udowodniliśmy nosi nazwę twierdzenia o dwusiecznej.

Wersja PDF
spinner