Zadanie nr 5311920
Na bokach trójkąta zbudowano kwadraty o polach i
(zobacz rysunek)
Wykaż, że .
Rozwiązanie
Zadanie sprawdza się do udowodnienia, że między długościami boków dowolnego trójkąta zachodzi nierówność:
![a2 + b2 > 1-c2 2](https://img.zadania.info/zad/5311920/HzadR1x.gif)
Sposób I
Zauważmy, że używając twierdzenia cosinusów możemy obliczyć w zależności od
i
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/5311920/HzadR5x.gif)
Dokładniej
![2 2 2 c = a + b − 2abco sγ .](https://img.zadania.info/zad/5311920/HzadR6x.gif)
Nierówność, którą mamy udowodnić przybiera więc postać
![2 2 1 2 1 2 2 a + b > -c = --(a + b − 2ab cos γ) / ⋅ 2 2 2 2 2 a + b + 2ab cosγ > 0.](https://img.zadania.info/zad/5311920/HzadR7x.gif)
Aby udowodnić tę nierówność korzystamy z tego, że (bo
). Mamy zatem
![a2 + b 2 + 2ab cos γ > a2 + b2 − 2ab = (a− b )2 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/5311920/HzadR10x.gif)
Sposób II
Tym razem za punkt wyjścia przyjmijmy nierówność trójkąta.
![2 a+ b > c /() a2 + b 2 + 2ab > c2.](https://img.zadania.info/zad/5311920/HzadR11x.gif)
Aby przekształcić tę nierówność dalej zauważmy, że zawsze
![a2 + b2 ≥ 2ab](https://img.zadania.info/zad/5311920/HzadR12x.gif)
(nierówność ta jest równoważna nierówności ). W takim razie
![2 2 2 2 2 2 2 2 2 c < a + b + 2ab ≤ a + b + a + b = 2(a + b ),](https://img.zadania.info/zad/5311920/HzadR14x.gif)
a to jest dokładnie nierówność, którą mieliśmy udowodnić.