/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Długości odcinków

Zadanie nr 5775293

Odcinki DH i EI są równoległe do boku BC trójkąta ABC , a odcinki DF i EG są równoległe do boku AC . Uzasadnij, że jeżeli |CF|= |CH| |FG | |HA| , to 2 |AD | = |DE |⋅|DB | .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na danym obrazku mamy wiele podobnych trójkątów i cała trudność polega na wykorzystaniu właściwych z nich. Ponieważ interesują nas długości odcinków AD ,DE i DB patrzymy na trójkąty ADH ,DEJ i DBF . Z podobieństwa trójkątów ADH i DEJ mamy

AD-- HD-- CF-- DE = JE = FG ,

a z podobieństwa trójkątów ADH i DBF mamy

AD-- HA-- HA-- DB = FD = CH .

Mnożymy teraz te dwie równości stronami i korzystamy z warunku -CF = -CH FG HA .

AD-- AD-- CF-- HA-- DE ⋅ DB = F G ⋅CH 2 --AD-----= CH--⋅ HA-- = 1 DE ⋅DB HA CH AD 2 = DE ⋅ DB .
Wersja PDF