/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Długości odcinków

Zadanie nr 6685079

Wykaż, że jeżeli w trójkącie dwusieczna pokrywa się ze środkową, to trójkąt ten jest równoramienny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Załóżmy, że dwusieczna i środkowa poprowadzone z wierzchołka A trójkąta ABC pokrywają się.

PIC

Sposób I

Niech E i F będą rzutami środka D boku BC odpowiednio na proste AB i AC . Ponieważ punkt D leży na dwusiecznej kąta BAC , to DE = DF . Punkt D jest też środkiem odcinka BC , więc DB = DC . To oznacza, że trójkąty prostokątne BED i CF D mają dwa boki tej samej długości (jedną z przyprostokątnych oraz przeciwprostokątną). W takim razie są przystające, skąd w szczególności otrzymujemy, że CF = BE .

Zauważmy teraz, że trójkąty prostokątne AED i AF D też są przystające (mają dwa boki tej samej długości). Mamy więc

AB = AE + BE = AF + CF = AC .

Sposób II

Tym razem napiszemy twierdzenie sinusów w trójkątach ABD i ACD .

BD AB CD AC AC -----= ----- ∧ ----- = --------∘----- = ----- sin α sinβ sin α sin(18 0 − β) sin β sin-β sinβ- AB = BD ⋅sin α ∧ AC = CD ⋅sin α.

Ponieważ BD = CD mamy stąd AB = AC .

Sposób III

Tym razem załóżmy, że AB > AC i niech E będzie takim punktem boku AB , że AE = AC .

PIC

Trójkąt AEC jest równoramienny i AD jest jego dwusieczną, więc AD jest też jego wysokością i środkową, czyli CF = F E . To jednak oznacza, że F D jest odcinkiem łączących środki boków trójkąta CEB . Mamy stąd

∡CEB = ∡CF D = 90∘ ⇒ ∡AEC = 90 ∘.

To jest jednak niemożliwe, bo kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego nie może być prosty. Do tej sprzeczności doprowadziło nas założenie, że trójkąt ABC nie jest równoramienny.

Sposób IV

Na mocy twierdzenia o dwusiecznej

AB BD ---- = ---- = 1. AC CD

Zatem rzeczywiście AB = AC .

Wersja PDF