/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Długości odcinków

Zadanie nr 6839651

Środkowa AD trójkąta ABC ma długość równą połowie długości boku BC oraz |BC | ≤ 2 . Wykaż, że |AB | ⋅|AC | ≤ 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy najpierw, że trójkąt ABC jest prostokątny. Rzeczywiście, trójkąty ADB i ADC są równoramienne (bo AD = BD = CD ), więc jeżeli oznaczymy ich kąty jak na rysunku powyżej, to

2α + 2β = 180∘ ⇒ α + β = 90∘.

To z kolei oznacza, że AB i AC są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego ABC i

1 AB ⋅AC = 2PABC = BC ⋅h ≤ BC ⋅AD = BC ⋅ -BC ≤ 2. 2
Wersja PDF