Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7284302

W trójkącie ABC środkowe AD i BE są prostopadłe. Wykaż, że  ( ) |AB |2 = 15 |BC |2 + |AC |2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Niech S będzie punktem wspólnym środkowych AD i BE , czyli środkiem ciężkości trójkąta ABC . Jak wiadomo środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka). Możemy więc oznaczyć

SD = x , AS = 2SD = 2x , SE = y, BS = 2SE = 2y.

Piszemy teraz twierdzenia Pitagorasa w trójkątach ABS , BDS i ASE .

( 2 2 2 ( 2 ||{ c( =) (2x) + (2y) |{ c4- = x2 + y2 a2 2 = (2y )2 + x2 ⇒ a2 = 4y2 + x 2 || ( )2 |( 42 ( 2b = (2x )2 + y2 b4 = 4x 2 + y 2.

Dodajemy teraz do siebie dwa ostatnie równania i korzystamy w otrzymanej sumie z równania pierwszego.

 a2 b2 c2 --+ ---= 5x 2 + 5y2 = 5 ⋅-- / ⋅4 4 4 4 a2 + b2 = 5c 2.
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!