Zadanie nr 7838876

Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu mają długości 32R i √ -- R 3 . Wykaż, że długość trzeciego boku wynosi --- R-(3+ √ 21) 4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od rysunku.

Robiąc go można zauważyć, że możliwe są dwie konﬁguracje: gdy narysujemy już cięciwę długości √ -- R 3 to cięciwę długości 3R 2 możemy narysować na dwa sposoby – po dwóch stronach pierwszej z cięciw. Przypadki te różnią się tym, że w jednym z nich zaznaczony kąt jest ostry, a w drugim rozwarty. Na szczęście z założenia interesuje nas tylko przypadek trójkąta ostrokątnego – to znacznie uprości rozwiązanie.

Sposób I

Długość trzeciego boku trójkąta obliczymy z twierdzenia sinusów, ale zanim to zrobimy, obliczmy funkcje trygonometryczne dwóch kątów trójkąta. Stosujemy twierdzenie sinusów.

√ -- √ -- AC R 3 3 ----- = 2R ⇒ sin β = ----- = ---- sin β 2R 2 AB 32R 3 ----- = 2R ⇒ sinγ = --- = -. sin γ 2R 4

Ponieważ z założenia trójkąt jest ostrokątny, mamy stąd

∘ ---------- ∘ ------ cos β = 1− sin 2β = 1− 3-= 1- ∘ ----4-- 2√ -- ∘ ---------- 9 7 cos γ = 1− sin 2γ = 1− ---= ---. 16 4

Możemy teraz obliczyć sin α – korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

sinα = sin (180∘ − (β + γ )) = sin (β+ γ) = sin βco sγ + sin γco sβ = √ --- √ --- = --21-+ 3-= 3-+---21-. 8 8 8

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów.

√ --- x 3+ 21 R √ --- -----= 2R ⇒ x = 2R ⋅sin α = 2R ⋅ ---------= --(3+ 21). sin α 8 4

Sposób II

Tym razem będziemy łączyć ze sobą twierdzenia sinusów i cosinusów. Z twierdzenia sinusów mamy

√ -- √ -- 2R = R---3 ⇒ sin β = --3. sin β 2

Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, mamy stąd β = 60∘ . Piszemy teraz twierdzenie cosinusów.

9 3R 2 = x2 + --R2 − 3Rx co sβ 4 3R 2 = x2 + 9-R2 − 3-Rx / ⋅2 4 2 2 2 9- 2 6R = 2x + 2 R − 3Rx 3 2x 2 − 3Rx − --R2 = 0 2 Δ = 9R 2 + 1 2R2 = 21R2 √ --- √ --- x = 3−----21R < 0, x = 3-+---21-R. 1 4 2 4

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy

√ --- x = 3-+---21R . 4

Sposób III

Pomysł jest taki, żeby obliczyć szukaną długość trzeciego boku z twierdzenia cosinusów. Aby to zrobić, potrzebujemy znać cos α . Dokładnie tak samo jak I sposobie obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kątów i . To pozwala obliczyć cos α – korzystamy ze wzoru na cosinus sumy.

cosα = cos(180 ∘ − (β + γ )) = − co s(β+ γ) = − cosβ cos γ+ sin β sinγ = √ -- √ -- √ -- √ -- --7- 3---3 3---3−----7 = − 8 + 8 = 8 .

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów

2 2 2 BC = AB + AC − 2AB ⋅AC ⋅cos√ α- √ -- 2 9R 2 2 3 √ -- 3 3− 7 x = ---- + 3R − 2 ⋅--R ⋅ 3R ⋅ ----------- 4 2 √ --- 8 √ --- 2 18R-2 +-24R-2 −-27R2-+-3--21R-2- 15R-2 +-3--21R-2 x = 8 = 8 .

Aby zakończyć dowód wystarczy teraz zauważyć, że

( ) √ --- √ --- R- √ --- 2 9R-2 +-6--21R-2 +-21R2- 15R-2 +-3--21R-2 2 4 (3+ 21) = 16 = 8 = x .

Sposób IV

Jak poprzednio chcemy obliczyć cosα . Stosujemy twierdzenie sinusów (bo znamy promień okręgu opisanego).

Liczymy

x x 2R = ----- ⇒ sinα = ---. sin α 2R

Teraz obliczymy co sα z jedynki trygonometrycznej – korzystamy z tego, że trójkąt jest ostrokątny.

∘ ---------- ∘ ------2-- √ --2----2- cosα = 1 − sin2α = ± 1 − -x-- = --4R--−-x--. 4R 2 2R

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów

2 2 2 BC = AB + AC − 2AB ⋅A√C--⋅cos-α- 9R 2 √ -- 4R 2 − x2 x 2 = ----+ 3R 2 − 3 3R 2 ⋅----------- / ⋅4 4 √ -- ∘ ---------2R 4x 2 = 21R 2 − 6 3R 4R 2 − x 2 √ --∘ --------- 6 3R 4R2 − x2 = 21R 2 − 4x 2 /()2 4 2 2 4 0 = 16x − 60R x + 9R = 0.

Podstawiamy 2 t = x i dzielimy równanie stronami przez 4.

9 4t2 − 15R 2t+ -R 4 = 0 4 Δ = 22 5R4 − 36R 4 = 189R 4 √ --- √ --- t1 = 15−--3--21R 2, t2 = 1-5+--3--21R 2. 8 8

Zatem

√ --- √ --- 2 15 − 3 2 1 2 2 15 + 3 21 2 x = -----------⋅ R ∨ x = -----------⋅R . 8 8

Łatwo sprawdzić, że w pierwszym przypadku x2 = BC 2 < AC 2 + AB 2 , czyli trójkąt jest rozwartokątny. Zatem

15 + 3 √ 21- x2 = ----------- ⋅R2 8

i tak samo jak w sposobie III uzasadniamy, że R- √ --- x = 4(3 + 2 1) .

Sposób V

Tym razem, pomimo podobnego schematu, najpierw obliczymy cosα w zależności od , a dopiero potem . Podobnie jak poprzednio piszemy twierdzenie cosinusów