Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7838876

Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu R mają długości 32R i  √ -- R 3 . Wykaż, że długość trzeciego boku wynosi  --- R-(3+ √ 21) 4 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od rysunku.


PIC


Robiąc go można zauważyć, że możliwe są dwie konfiguracje: gdy narysujemy już cięciwę długości  √ -- R 3 to cięciwę długości 3R 2 możemy narysować na dwa sposoby – po dwóch stronach pierwszej z cięciw. Przypadki te różnią się tym, że w jednym z nich zaznaczony kąt α jest ostry, a w drugim rozwarty. Na szczęście z założenia interesuje nas tylko przypadek trójkąta ostrokątnego – to znacznie uprości rozwiązanie.

Sposób I

Długość trzeciego boku trójkąta obliczymy z twierdzenia sinusów, ale zanim to zrobimy, obliczmy funkcje trygonometryczne pozostałych dwóch kątów trójkąta. Stosujemy twierdzenie sinusów.

 √ -- √ -- AC R 3 3 ----- = 2R ⇒ sin β = ----- = ---- sin β 2R 2 AB 32R 3 ----- = 2R ⇒ sinγ = --- = -. sin γ 2R 4

Ponieważ z założenia trójkąt jest ostrokątny, mamy stąd

 ∘ ---------- ∘ ------ cos β = 1− sin 2β = 1− 3-= 1- ∘ ----4-- 2√ -- ∘ ---------- 9 7 cos γ = 1− sin 2γ = 1− ---= ---. 16 4

Możemy teraz obliczyć sin α – korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

sinα = sin (180∘ − (β + γ )) = sin (β+ γ) = sin βco sγ + sin γco sβ = √ --- √ --- = --21-+ 3-= 3-+---21-. 8 8 8

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów.

 √ --- x 3+ 21 R √ --- -----= 2R ⇒ x = 2R ⋅sin α = 2R ⋅ ---------= --(3+ 21). sin α 8 4

Sposób II

Pomysł jest taki, żeby obliczyć szukaną długość x trzeciego boku z twierdzenia cosinusów. Aby to zrobić, potrzebujemy znać cos α . Dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kątów β i γ . To pozwala obliczyć cos α – korzystamy ze wzoru na cosinus sumy.

cosα = cos(180 ∘ − (β + γ )) = − co s(β+ γ) = − cosβ cos γ+ sin β sinγ = √ -- √ -- √ -- √ -- = − --7-+ 3---3 = 3---3−----7. 8 8 8

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅AC ⋅cos α √ -- √ -- 2 9R-2 2 3- √ -- 3--3−----7- x = 4 + 3R − 2 ⋅2 R ⋅ 3R ⋅ 8 2 2 2 √ --- 2 2 √ --- 2 x2 = 18R--+--24R--−--27R--+-3--21R---= 15R--+--3--21R--. 8 8

Aby zakończyć dowód wystarczy teraz zauważyć, że

( ---) 2 2 √ --- 2 2 2 √ --- 2 R-(3+ √ 21) = 9R--+--6--21R--+--21R--= 15R--+--3--21R-- = x2. 4 16 8

Sposób III

Jak poprzednio chcemy obliczyć cosα . Stosujemy twierdzenie sinusów (bo znamy promień okręgu opisanego).

Liczymy

 x x 2R = ----- ⇒ sinα = ---. sin α 2R

Teraz obliczymy co sα z jedynki trygonometrycznej – korzystamy z tego, że trójkąt jest prostokątny.

 ∘ --------- √ --------- ∘ ---------- x2 4R2 − x2 cosα = 1 − sin2α = ± 1 − ---2 = -----------. 4R 2R

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅AC ⋅cos α √ --------- 2 9R-2 2 √ -- 2 --4R-2 −-x2 x = 4 + 3R − 3 3R ⋅ 2R / ⋅4 2 2 √ -- ∘ ---2----2 4x = 21R − 6 3R 4R − x √ --∘ --2----2- 2 2 2 6 3R 4R − x = 21R − 4x /() 0 = 16x4 − 60R 2x2 + 9R 4 = 0.

Podstawiamy t = x 2 i dzielimy równanie stronami przez 4.

 2 2 9- 4 4t − 15R t+ 4R = 0 4 4 4 Δ = 22 5R −√ 36R = 189R √ --- 15− 3 21 1 5+ 3 21 t1 = ----------R 2, t2 = -----------R 2. 8 8

Zatem

 √ --- √ --- 15 − 3 2 1 15 + 3 21 x2 = -----------⋅ R2 ∨ x2 = -----------⋅R 2. 8 8

Łatwo sprawdzić, że w pierwszym przypadku  2 2 2 2 x = BC < AC + AB , czyli trójkąt jest rozwartokątny. Zatem

 √ --- x2 = 15-+-3---21 ⋅R2 8

i tak samo jak w sposobie II uzasadniamy, że  √ --- x = R4-(3+ 21) .

Sposób IV

Tym razem, pomimo podobnego schematu, najpierw obliczymy cosα w zależności od R , a dopiero potem x . Podobnie jak poprzednio piszemy twierdzenie cosinusów

 √ -- 4x2 = 9R2 + 12R 2 − 12R 2 3⋅co sα,

ale tym razem podstawiamy za x = 2R sin α .

 √ -- 16R 2sin2α = 21R 2 − 1 2R2 3 ⋅cos α / : R2 2 √ -- 16(1 − cos α) = 21 − 12 3 cos α.

Podstawiamy t = co sα .

 2 √ -- 16− 16t =√ -21 − 12 3t 16t2 − 1 2 3t+ 5 = 0 / : 4 √ -- 4t2 − 3 3t+ 5-= 0 4 Δ = 2 7− 2 0 = 7 √ -- √ -- √ -- √ -- 3--3-−---7- 3--3-+---7- t1 = 8 , t2 = 8

Wracając do twierdzenia cosinusów otrzymujemy

 √ -- √ -- 2 2 2√ -- 2 2√ -- 3--3-±---7- 4x = 21R − 12R 3⋅co sα = 21R − 12R 3⋅ 8 = ( √ ---) √ --- = R 2 21− 27-±-3--21- = R 2 ⋅ 15-±-3-21 2 2 √ --- 2 15-±-3--21- 2 x = 8 ⋅R .

Teraz dokładnie tak samo jak w sposobie III eliminujemy jedno rozwiązanie i dowodzimy, że  R √ --- x = 4(3 + 2 1) .

Sposób V

Tym razem również będziemy łączyć ze sobą twierdzenia sinusów i cosinusów, ale skoncentrujemy się na kącie β .

Jak popatrzymy na II sposób rozwiązania, to tam najważniejszym problem było to, że w wyrażeniu na sin α występował x . Jeżeli zmienimy kąt to pozbędziemy się tego problemu (kosztem skomplikowania twierdzenia cosinusów). Tym razem mamy

 √ -- √ -- R---3 --3- 2R = sin β ⇒ sin β = 2 .

Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, mamy stąd β = 60∘ . Piszemy teraz twierdzenie cosinusów.

 2 2 9 2 3R = x + --R − 3Rx co sβ 4 3R 2 = x2 + 9-R2 − 3-Rx / ⋅2 4 2 2 2 9- 2 6R = 2x + 2 R − 3Rx 3 2x 2 − 3Rx − --R2 = 0 2 Δ = 9R 2 + 1 2R2 = 21R2 √ --- √ --- x = 3−----21R < 0, x 2 = 3-+---21-R. 1 4 4

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy

 √ --- x = 3-+---21R . 4
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!