/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Długości odcinków

Zadanie nr 9215423

Na bokach AB i AC trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty K i L w ten sposób, że |BK | = |AL | . Punkt D jest środkiem odcinka BC . Przez punkty K i L poprowadzono proste równoległe do AD , które wyznaczyły na boku BC punkty E i F odpowiednio (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli |BC | = 2|EF | , to |AB | = |AC | .

ZINFO-FIGURE

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy BK = AL = x , AB = c , AC = b , BC = a .

Zauważmy, że trójkąt BEK jest podobny do trójkąta BDA w skali BBKA- , więc

BK-- x- a- BE = BA ⋅BD = c ⋅ 2.

Podobnie, z podobieństwa trójkątów CF L i CDA mamy

( ) CL-- CA--−--AL- AL-- ( x-) a- CF = CA ⋅CD = CA ⋅ CD = 1 − CA ⋅CD = 1 − b ⋅2 .

Stąd

( ) a-= EF = BE + CF = x-⋅ a-+ 1 − x- ⋅ a / ⋅ 2 2 c 2 b 2 a x- x- 1 = c + 1− b x- x- b = c ⇒ b = c.
Wersja PDF