Zadanie nr 2886102
Udowodnij, że jeżeli w trójkącie dwa kąty nie są równe, to naprzeciw większego z nich leży dłuższy bok.
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt.
Oznaczmy podane kąty przez , a leżące naprzeciwko nich boki przez
i
. Mamy pokazać, że
.
Sposób I
Jeżeli , to
![γ < α-+-α-= α. 2](https://img.zadania.info/zad/2886102/HzadR6x.gif)
Możemy zatem znaleźć na boku taki punkt
, że
. Wtedy
![∘ ∡ADC = 180 − ∡C − ∡DAC = ∘ ∘ α+ β α+ β = 180 − (180 − α − β )− --2---= --2---](https://img.zadania.info/zad/2886102/HzadR10x.gif)
Zatem trójkat jest równoramienny i
, co mieliśmy pokazać.
Sposób II
Jeżeli , to również
. Funkcja
jest rosnąca w pierwszej ćwiartce, więc na mocy twierdzenia sinusów mamy
![a = 2R sin α > 2R sin β = b.](https://img.zadania.info/zad/2886102/HzadR16x.gif)
Jeżeli natomiast , to
, więc podobnie jak poprzednio mamy
![a = 2R sin α = 2R sin(180 ∘− (β + ∡C )) = 2R sin(β + ∡C ) > 2R sin β = b .](https://img.zadania.info/zad/2886102/HzadR19x.gif)