Zadanie nr 3187358
Odcinki i
są wysokościami trójkąta ostrokątnego
, a punkt
jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:
- na czworokącie
można opisać okrąg;
- okręgi opisane na trójkątach
i
mają promienie równej długości.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
- Ponieważ kąty
i
są proste, okrąg o średnicy
przechodzi przez punkty
i
.
- Oznaczmy standardowo miary kątów trójkąta (jak na obrazku). Z twierdzenia sinusów promień okręgu opisanego na trójkącie
spełnia:
Aby porównać ten promień z promieniem okręgu opisanego na trójkącie
musimy wyliczyć kąt
. Liczymy
Kąt ten mogliśmy też wyliczyć trochę szybciej, patrząc na czworokąt
. Promień
okręgu opisanego na trójkącie
spełnia więc