Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3187358

Odcinki AK i BL są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt S jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:

  • na czworokącie ABKL można opisać okrąg;
  • okręgi opisane na trójkątach ABC i ABS mają promienie równej długości.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


  • Ponieważ kąty ∡AKB i ∡BLA są proste, okrąg o średnicy AB przechodzi przez punkty K i L .
  • Oznaczmy standardowo miary kątów trójkąta (jak na obrazku). Z twierdzenia sinusów promień okręgu opisanego na trójkącie ABC spełnia:
     AB 2R = -----. sin γ

    Aby porównać ten promień z promieniem okręgu opisanego na trójkącie ABS musimy wyliczyć kąt ∡ASB . Liczymy

    ∡KAB = 90∘ − ∡KBA = 90∘ − β ∡LBA = 9 0∘ − ∡LAB = 90∘ − α ∡ASB = 1 80∘ − ∡SAB − ∡SBA = α + β = 180∘ − γ .

    Kąt ten mogliśmy też wyliczyć trochę szybciej, patrząc na czworokąt CLSK . Promień R 1 okręgu opisanego na trójkącie ABS spełnia więc

     AB AB AB 2R 1 = ---------- = --------∘----- = -----= 2R . sin∡ASB sin(18 0 − γ) sin γ
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!